$$ \lim _ { x \rightarrow 0 } 2 \ln x + \frac { 1 } { x } $$

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

Pour évaluer la limite suivante :

$$
\lim_{x \rightarrow 0^+} \left( 2 \ln x + \frac{1}{x} \right)
$$

**Étape 1 : Analyser le comportement des termes individuels**

1. **$$ \ln x $$ lorsque $$ x \rightarrow 0^+ $$ :**
   - $$ \ln x $$ tend vers $$ -\infty $$.
   
2. **$$ \frac{1}{x} $$ lorsque $$ x \rightarrow 0^+ $$ :**
   - $$ \frac{1}{x} $$ tend vers $$ +\infty $$.

**Étape 2 : Comparer la croissance des termes**

- Bien que $$ 2 \ln x $$ tende vers $$ -\infty $$, le terme $$ \frac{1}{x} $$ tend vers $$ +\infty $$ beaucoup plus rapidement.
- Pour confirmer cela, effectuons un changement de variable. Posons $$ x = \frac{1}{t} $$ avec $$ t \rightarrow +\infty $$.

La limite devient :
   $$
   \lim_{t \rightarrow +\infty} \left( 2 \ln \left(\frac{1}{t}\right) + t \right) = \lim_{t \rightarrow +\infty} \left( -2 \ln t + t \right)
   $$
   
- Ici, $$ t $$ croît linéairement tandis que $$ \ln t $$ croît logarithmiquement. Le terme linéaire $$ t $$ domine largement le terme logarithmique $$ -2 \ln t $$.

**Conclusion :**

La limite est dominée par le terme $$ \frac{1}{x} $$ qui tend vers $$ +\infty $$. Ainsi,

$$
\lim_{x \rightarrow 0^+} \left( 2 \ln x + \frac{1}{x} \right) = +\infty
$$

**Réponse finale :**

La limite est infinie positive.
La limite est infinie positive.

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