Resolver las desigualdades a) $$ \frac{5 x-\frac{3}{2}}{-\frac{7}{4 x}+1}0 $$

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Resolver las desigualdades a) $$ \frac{5 x-\frac{3}{2}}{-\frac{7}{4 x}+1}>0 $$

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Para resolver la desigualdad $$ \frac{5 x - \frac{3}{2}}{-\frac{7}{4 x} + 1} > 0 $$, seguiremos los siguientes pasos: 1. **Identificar los puntos críticos**: Estos son los valores de $$ x $$ que hacen que el numerador o el denominador sean cero. - **Numerador**: $$ 5x - \frac{3}{2} = 0 $$ $$ 5x = \frac{3}{2} \implies x = \frac{3}{10} $$ - **Denominador**: $$ -\frac{7}{4x} + 1 = 0 $$ $$ -\frac{7}{4x} = -1 \implies \frac{7}{4x} = 1 \implies 7 = 4x \implies x = \frac{7}{4} $$ 2. **Determinar los intervalos**: Los puntos críticos dividen la recta numérica en intervalos. Los puntos críticos son $$ x = \frac{3}{10} $$ y $$ x = \frac{7}{4} $$. Los intervalos son: - $$ (-\infty, \frac{3}{10}) $$ - $$ \left(\frac{3}{10}, \frac{7}{4}\right) $$ - $$ \left(\frac{7}{4}, \infty\right) $$ 3. **Probar los intervalos**: Elegimos un valor de prueba en cada intervalo para determinar el signo de la expresión. - **Intervalo $$ (-\infty, \frac{3}{10}) $$**: Tomemos $$ x = 0 $$ $$ \frac{5(0) - \frac{3}{2}}{-\frac{7}{4(0)} + 1} = \frac{-\frac{3}{2}}{1} < 0 $$ - **Intervalo $$ \left(\frac{3}{10}, \frac{7}{4}\right) $$**: Tomemos $$ x = 1 $$ $$ \frac{5(1) - \frac{3}{2}}{-\frac{7}{4(1)} + 1} = \frac{5 - \frac{3}{2}}{-\frac{7}{4} + 1} = \frac{\frac{10}{2} - \frac{3}{2}}{-\frac{7}{4} + \frac{4}{4}} = \frac{\frac{7}{2}}{-\frac{3}{4}} = \frac{7}{2} \cdot -\frac{4}{3} = -\frac{28}{6} < 0 $$ - **Intervalo $$ \left(\frac{7}{4}, \infty\right) $$**: Tomemos $$ x = 2 $$ $$ \frac{5(2) - \frac{3}{2}}{-\frac{7}{4(2)} + 1} = \frac{10 - \frac{3}{2}}{-\frac{7}{8} + 1} = \frac{\frac{20}{2} - \frac{3}{2}}{\frac{1}{8}} = \frac{\frac{17}{2}}{\frac{1}{8}} = 17 \cdot 4 = 68 > 0 $$ 4. **Conclusión**: La expresión es positiva en el intervalo $$ \left(\frac{7}{4}, \infty\right) $$. 5. **Considerar los puntos críticos**: - En $$ x = \frac{3}{10} $$, el numerador es cero, por lo que no se incluye. - En $$ x = \frac{7}{4} $$, el denominador es cero, por lo que tampoco se incluye. Por lo tanto, la solución de la desigualdad es: $$ \boxed{\left(\frac{7}{4}, \infty\right)} $$ La solución de la desigualdad es $$ \left(\frac{7}{4}, \infty\right) $$.

Resolver las desigualdades
a)

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