Esercizio 2. Siano dati i punti del piano euclideo e . Si consideri l’insieme
dei punti del piano per cui i vettori e sono ortogonali.
sas Provare che è è una circonferenza e trovare la sua equazione cartesiana.
(b) Trovare centro e raggio di .
&) Costruire le rette passanti per l’origine che sono tangenti a .
(d) Si chiami il diametro di che è parallelo all’asse . Calcolare l’area del triangolo .
Le rette tangenti a una circonferenza dal punto possono essere trovate usando la formula per la distanza da un punto a una circonferenza. La distanza dal punto al centro è:
La distanza dal punto alla circonferenza è:
Le tangenti formano un angolo con l’asse che può essere trovato usando la formula:
Le equazioni delle tangenti sono quindi:
Quindi le rette tangenti sono:
(d) Calcolare l’area del triangolo .
Il diametro è parallelo all’asse e si trova a con lunghezza (il raggio). I punti e sono:
L’area del triangolo è data dalla formula:
dove la base è la distanza tra e e l’altezza è la distanza dall’origine alla retta .
La base è:
L’altezza è:
Quindi l’area è:
Risultati finali:
L’equazione della circonferenza è .
Centro e raggio .
Rette tangenti: e .
Area del triangolo .
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Bonus Knowledge
Immagina di trovarci nel cuore della geometria! Per dimostrare che l’insieme è una circonferenza, osserva che i vettori e sono ortogonali, il che significa che il prodotto scalare è zero. Scrivendo le coordinate dei punti come , ottieni l’equazione del cerchio, che rappresenta tutti i punti che soddisfano questa condizione. Questo ci porterà a scoprire l’equazione della circonferenza centrata in con raggio .
Ora parliamo di applicazione reale! Immagina di dover progettare un giardino rotondo in modo che vari segmenti di percorso si incontrino a punti ortogonali rispetto a due sentieri principali. Conoscere le proprietà delle circonferenze ti aiuterà a stabilire piante e aiuole esattamente nel modo in cui desideri, giocando con simmetrie e angoli. Questo è solo un esempio di come la teoria geometrica si traduca in pratica!