Esercizio 2. Siano dati i punti del piano euclideo e . Si consideri l’insieme
dei punti del piano per cui i vettori e sono ortogonali.
sas Provare che è è una circonferenza e trovare la sua equazione cartesiana.
(b) Trovare centro e raggio di .
&) Costruire le rette passanti per l’origine che sono tangenti a .
(d) Si chiami il diametro di che è parallelo all’asse . Calcolare l’area del triangolo
.

Ask by Li Tyler. in Italy

Jan 13,2025

Question

Esercizio 2. Siano dati i punti del piano euclideo e . Si consideri l’insieme
dei punti del piano per cui i vettori e sono ortogonali.
sas Provare che è è una circonferenza e trovare la sua equazione cartesiana.
(b) Trovare centro e raggio di .
&) Costruire le rette passanti per l’origine che sono tangenti a .
(d) Si chiami il diametro di che è parallelo all’asse . Calcolare l’area del triangolo
.

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Jan 13,2025

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Per risolvere il problema, seguiamo i passi richiesti.

### (a) Dimostrare che $$ \mathcal{C} $$ è una circonferenza e trovare la sua equazione cartesiana.

I punti $$ A(-2,1) $$ e $$ B(2,2) $$ sono dati. Vogliamo trovare l'insieme dei punti $$ P(x,y) $$ tali che i vettori $$ \overrightarrow{AP} $$ e $$ \overrightarrow{BP} $$ siano ortogonali.

I vettori sono definiti come:
$$
\overrightarrow{AP} = (x + 2, y - 1)
$$
$$
\overrightarrow{BP} = (x - 2, y - 2)
$$

Due vettori sono ortogonali se il loro prodotto scalare è zero:
$$
\overrightarrow{AP} \cdot \overrightarrow{BP} = 0
$$

Calcoliamo il prodotto scalare:
$$
(x + 2)(x - 2) + (y - 1)(y - 2) = 0
$$

Semplificando:
$$
x^2 - 4 + (y^2 - 3y + 2) = 0
$$
$$
x^2 + y^2 - 3y - 2 = 0
$$

Per ottenere l'equazione della circonferenza, portiamo tutti i termini a sinistra:
$$
x^2 + y^2 - 3y + 2 = 0
$$

Completiamo il quadrato per il termine in $$ y $$:
$$
x^2 + (y^2 - 3y + \frac{9}{4}) - \frac{9}{4} + 2 = 0
$$
$$
x^2 + (y - \frac{3}{2})^2 - \frac{1}{4} = 0
$$
$$
x^2 + (y - \frac{3}{2})^2 = \frac{1}{4}
$$

Quindi, l'equazione della circonferenza è:
$$
(x - 0)^2 + \left(y - \frac{3}{2}\right)^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2
$$

### (b) Trovare centro e raggio di $$ \mathcal{C} $$.

Dall'equazione della circonferenza, possiamo identificare il centro $$ C $$ e il raggio $$ r $$:
- Centro $$ C(0, \frac{3}{2}) $$
- Raggio $$ r = \frac{1}{2} $$

### (c) Costruire le rette passanti per l'origine che sono tangenti a $$ \mathcal{C} $$.

Le rette tangenti a una circonferenza dal punto $$ O(0,0) $$ possono essere trovate usando la formula per la distanza da un punto a una circonferenza. La distanza $$ d $$ dal punto $$ O $$ al centro $$ C $$ è:
$$
d = \sqrt{(0 - 0)^2 + (0 - \frac{3}{2})^2} = \frac{3}{2}
$$

La distanza dal punto $$ O $$ alla circonferenza è:
$$
d - r = \frac{3}{2} - \frac{1}{2} = 1
$$

Le tangenti formano un angolo con l'asse $$ x $$ che può essere trovato usando la formula:
$$
\tan(\theta) = \frac{r}{d - r} = \frac{\frac{1}{2}}{1} = \frac{1}{2}
$$

Le equazioni delle tangenti sono quindi:
$$
y = mx \quad \text{con} \quad m = \pm \frac{1}{2}
$$

Quindi le rette tangenti sono:
$$
y = \frac{1}{2}x \quad \text{e} \quad y = -\frac{1}{2}x
$$

### (d) Calcolare l'area del triangolo $$ A^{\prime} O B^{\prime} $$.

Il diametro $$ A'B' $$ è parallelo all'asse $$ x $$ e si trova a $$ y = \frac{3}{2} $$ con lunghezza $$ 1 $$ (il raggio). I punti $$ A' $$ e $$ B' $$ sono:
$$
A'(-\frac{1}{2}, \frac{3}{2}), \quad B'(\frac{1}{2}, \frac{3}{2})
$$

L'area del triangolo $$ A'OB' $$ è data dalla formula:
$$
\text{Area} = \frac{1}{2} \times \text{base} \times \text{altezza}
$$
dove la base è la distanza tra $$ A' $$ e $$ B' $$ e l'altezza è la distanza dall'origine alla retta $$ y = \frac{3}{2} $$.

La base è:
$$
\text{base} = |-\frac{1}{2} - \frac{1}{2}| = 1
$$

L'altezza è:
$$
\text{altezza} = \frac{3}{2}
$$

Quindi l'area è:
$$
\text{Area} = \frac{1}{2} \times 1 \times \frac{3}{2} = \frac{3}{4}
$$

### Risultati finali:
- L'equazione della circonferenza è $$ (x - 0)^2 + \left(y - \frac{3}{2}\right)^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 $$.
- Centro $$ C(0, \frac{3}{2}) $$ e raggio $$ r = \frac{1}{2} $$.
- Rette tangenti: $$ y = \frac{1}{2}x $$ e $$ y = -\frac{1}{2}x $$.
- Area del triangolo $$ A'OB' = \frac{3}{4} $$.
La circonferenza $$ \mathcal{C} $$ ha equazione $$ x^2 + (y - \frac{3}{2})^2 = \frac{1}{4} $$, centro $$ (0, \frac{3}{2}) $$ e raggio $$ \frac{1}{2} $$. Le rette tangenti a $$ \mathcal{C} $$ passanti per l'origine sono $$ y = \frac{1}{2}x $$ e $$ y = -\frac{1}{2}x $$. L'area del triangolo $$ A'OB' $$ è $$ \frac{3}{4} $$.

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