Question
upstudy study bank question image url

Esercizio 2. Siano dati i punti del piano euclideo e . Si consideri l’insieme
dei punti del piano per cui i vettori e sono ortogonali.
sas Provare che è è una circonferenza e trovare la sua equazione cartesiana.
(b) Trovare centro e raggio di .
&) Costruire le rette passanti per l’origine che sono tangenti a .
(d) Si chiami il diametro di che è parallelo all’asse . Calcolare l’area del triangolo
.

Ask by Li Tyler. in Italy
Jan 13,2025

Upstudy AI Solution

Tutor-Verified Answer

Answer

La circonferenza ha equazione , centro e raggio . Le rette tangenti a passanti per l’origine sono e . L’area del triangolo è .

Solution

Per risolvere il problema, seguiamo i passi richiesti.

(a) Dimostrare che è una circonferenza e trovare la sua equazione cartesiana.

I punti e sono dati. Vogliamo trovare l’insieme dei punti tali che i vettori e siano ortogonali.
I vettori sono definiti come:
Due vettori sono ortogonali se il loro prodotto scalare è zero:
Calcoliamo il prodotto scalare:
Semplificando:
Per ottenere l’equazione della circonferenza, portiamo tutti i termini a sinistra:
Completiamo il quadrato per il termine in :
Quindi, l’equazione della circonferenza è:

(b) Trovare centro e raggio di .

Dall’equazione della circonferenza, possiamo identificare il centro e il raggio :
  • Centro
  • Raggio

© Costruire le rette passanti per l’origine che sono tangenti a .

Le rette tangenti a una circonferenza dal punto possono essere trovate usando la formula per la distanza da un punto a una circonferenza. La distanza dal punto al centro è:
La distanza dal punto alla circonferenza è:
Le tangenti formano un angolo con l’asse che può essere trovato usando la formula:
Le equazioni delle tangenti sono quindi:
Quindi le rette tangenti sono:

(d) Calcolare l’area del triangolo .

Il diametro è parallelo all’asse e si trova a con lunghezza (il raggio). I punti e sono:
L’area del triangolo è data dalla formula:
dove la base è la distanza tra e e l’altezza è la distanza dall’origine alla retta .
La base è:
L’altezza è:
Quindi l’area è:

Risultati finali:

  • L’equazione della circonferenza è .
  • Centro e raggio .
  • Rette tangenti: e .
  • Area del triangolo .

Answered by UpStudy AI and reviewed by a Professional Tutor

error msg
Explain
Simplify this solution

Bonus Knowledge

Immagina di trovarci nel cuore della geometria! Per dimostrare che l’insieme è una circonferenza, osserva che i vettori e sono ortogonali, il che significa che il prodotto scalare è zero. Scrivendo le coordinate dei punti come , ottieni l’equazione del cerchio, che rappresenta tutti i punti che soddisfano questa condizione. Questo ci porterà a scoprire l’equazione della circonferenza centrata in con raggio .
Ora parliamo di applicazione reale! Immagina di dover progettare un giardino rotondo in modo che vari segmenti di percorso si incontrino a punti ortogonali rispetto a due sentieri principali. Conoscere le proprietà delle circonferenze ti aiuterà a stabilire piante e aiuole esattamente nel modo in cui desideri, giocando con simmetrie e angoli. Questo è solo un esempio di come la teoria geometrica si traduca in pratica!

Related Questions

Latest Geometry Questions

Try Premium now!
Try Premium and ask Thoth AI unlimited math questions now!
Maybe later Go Premium
Study can be a real struggle
Why not UpStudy it?
Select your plan below
Premium

You can enjoy

Start now
  • Step-by-step explanations
  • 24/7 expert live tutors
  • Unlimited number of questions
  • No interruptions
  • Full access to Answer and Solution
  • Full Access to PDF Chat, UpStudy Chat, Browsing Chat
Basic

Totally free but limited

  • Limited Solution
Welcome to UpStudy!
Please sign in to continue the Thoth AI Chat journey
Continue with Email
Or continue with
By clicking “Sign in”, you agree to our Terms of Use & Privacy Policy