Disegna una circonferenza di diametro \( A B \) e fissa su di essa un punto C. Congiungendo gli estremi del diametro con il punto C si ot- tiene un triangolo rettangolo. Calcola il peri- metro e l'area di tale triangolo se la somma dei cateti è 112 dm e uno è \( \frac{3}{4} \) dell'altro. \[ \left[192 \mathrm{dm} ; 1536 \mathrm{dm}^{2}\right] \]

Per risolvere il problema, iniziamo a trovare i cateti del triangolo rettangolo. Sia \( x \) il cateto maggiore e \( y \) il cateto minore. Dato che la somma dei cateti è 112 dm, possiamo scrivere: \[ x + y = 112 \] Inoltre, dato che uno dei cateti è \( \frac{3}{4} \) dell'altro, possiamo esprimere \( y \) in funzione di \( x \): \[ y = \frac{3}{4}x \] Sostituendo questa espressione nella prima equazione, otteniamo: \[ x + \frac{3}{4}x = 112 \] \[ \frac{7}{4}x = 112 \] \[ x = 112 \cdot \frac{4}{7} = 64 \, \text{dm} \] Ora calcoliamo \( y \): \[ y = \frac{3}{4} \cdot 64 = 48 \, \text{dm} \] Ora possiamo calcolare il perimetro \( P \) del triangolo rettangolo: \[ P = x + y + c \] dove \( c \) è l'ipotenusa calcolata con il teorema di Pitagora: \[ c = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{64^2 + 48^2} = \sqrt{4096 + 2304} = \sqrt{6400} = 80 \, \text{dm} \] Pertanto, il perimetro diventa: \[ P = 64 + 48 + 80 = 192 \, \text{dm} \] Ora calcoliamo l'area \( A \) del triangolo rettangolo: \[ A = \frac{1}{2}xy = \frac{1}{2} \cdot 64 \cdot 48 = \frac{3072}{2} = 1536 \, \text{dm}^2 \] In sintesi, il perimetro è \( 192 \, \text{dm} \) e l'area è \( 1536 \, \text{dm}^2 \).