$$ k = \frac { 1 ^ { 3 } + 2 ^ { 3 } + 3 ^ { 3 } + \ldots + 13 ^ { 3 } } { 1 ^ { 2 } + 2 ^ { 2 } + 3 ^ { 2 } + \ldots + 13 ^ { 2 } } $$

Question

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Para encontrar el valor de $$ k $$, primero necesitamos calcular la suma de los cubos de los números del 1 al 13 y la suma de los cuadrados de los mismos números.

La fórmula para la suma de los cubos de los números del 1 al $$ n $$ es:
$$ \sum_{i=1}^{n} i^3 = \left( \frac{n(n+1)}{2} \right)^2 $$

Y la fórmula para la suma de los cuadrados de los números del 1 al $$ n $$ es:
$$ \sum_{i=1}^{n} i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} $$

Sustituyendo $$ n = 13 $$ en estas fórmulas, obtenemos:
$$ \sum_{i=1}^{13} i^3 = \left( \frac{13(13+1)}{2} \right)^2 $$
$$ \sum_{i=1}^{13} i^2 = \frac{13(13+1)(2*13+1)}{6} $$

Calculando estas sumas, podemos encontrar el valor de $$ k $$.
Calculate the value by following steps:
- step0: Calculate:
  $$\left(\frac{13\left(13+1\right)}{2}\right)^{2}$$
- step1: Add the numbers:
  $$\left(\frac{13\times 14}{2}\right)^{2}$$
- step2: Reduce the fraction:
  $$91^{2}$$
- step3: Evaluate the power:
  $$8281$$
Calculate or simplify the expression $$ 13*(13+1)*(2*13+1)/6 $$.
Calculate the value by following steps:
- step0: Calculate:
  $$\frac{13\left(13+1\right)\left(2\times 13+1\right)}{6}$$
- step1: Add the numbers:
  $$\frac{13\times 14\left(2\times 13+1\right)}{6}$$
- step2: Multiply the numbers:
  $$\frac{13\times 14\left(26+1\right)}{6}$$
- step3: Add the numbers:
  $$\frac{13\times 14\times 27}{6}$$
- step4: Multiply the terms:
  $$\frac{4914}{6}$$
- step5: Reduce the fraction:
  $$819$$
La suma de los cubos de los números del 1 al 13 es 8281 y la suma de los cuadrados de los mismos números es 819.

Por lo tanto, el valor de $$ k $$ es:
$$ k = \frac{8281}{819} $$
Calculate the value by following steps:
- step0: Calculate:
  $$\frac{8281}{819}$$
- step1: Reduce the fraction:
  $$\frac{91}{9}$$
El valor de $$ k $$ es $$ 10\frac{1}{9} $$ o $$ 10.1 $$ en forma decimal.
El valor de $$ k $$ es $$ 10\frac{1}{9} $$ o $$ 10.1 $$ en forma decimal.

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