159. Il lato maggiore di un parallelogrammo è \( 8 / 5 \mathrm{del} \) minore, il perimetro è 78 dm e l'area \( 216 \mathrm{dm}^{2} \). Calcola la misura di ciascuna delle due altezze del parallelogrammo. [ \( 9 \mathrm{dm} ; 14,4 \mathrm{c} \).

Per risolvere il problema, seguiamo i passaggi passo per passo. **Dati:** - Il lato maggiore \( b \) è \( \frac{8}{5} \) volte il lato minore \( a \). - Il perimetro è \( 78 \, \text{dm} \). - L'area è \( 216 \, \text{dm}^2 \). **Passaggio 1: Determinare i lati del parallelogrammo** Sappiamo che il perimetro \( P \) di un parallelogrammo è dato da: \[ P = 2(a + b) \] Dove \( a \) è il lato minore e \( b \) il lato maggiore. Sostituendo i valori: \[ 2(a + b) = 78 \implies a + b = 39 \] Dato che \( b = \frac{8}{5}a \): \[ a + \frac{8}{5}a = 39 \implies \frac{13}{5}a = 39 \implies a = \frac{39 \times 5}{13} = 15 \, \text{dm} \] Quindi: \[ b = \frac{8}{5} \times 15 = 24 \, \text{dm} \] **Passaggio 2: Calcolare le altezze del parallelogrammo** L'area \( S \) di un parallelogrammo è data da: \[ S = \text{base} \times \text{altezza} \] Possiamo calcolare due altezze diverse, una per ciascun lato. 1. **Altezza relativa al lato minore \( a = 15 \, \text{dm} \):** \[ h_a = \frac{S}{a} = \frac{216}{15} = 14.4 \, \text{dm} \] 2. **Altezza relativa al lato maggiore \( b = 24 \, \text{dm} \):** \[ h_b = \frac{S}{b} = \frac{216}{24} = 9 \, \text{dm} \] **Risultato:** Le due altezze del parallelogrammo sono: \[ h_a = 14,4 \, \text{dm} \quad \text{e} \quad h_b = 9 \, \text{dm} \]