$$ 5^{2024}-3^{2024} $$ ayirmani 34 ga bo'lgandagi qoldiqni toping. $$ \begin{array}{llll} ext { A) } 24 & ext { B) } 0 & ext { C) } 2 & ext { D) } 18\end{array} $$

Question

$$ 5^{2024}-3^{2024} $$ ayirmani 34 ga bo'lgandagi qoldiqni toping. $$ \begin{array}{llll}	ext { A) } 24 & 	ext { B) } 0 & 	ext { C) } 2 & 	ext { D) } 18\end{array} $$

UpStudy AI · Accepted Answer

Рассмотрим выражение $$ 5^{2024}-3^{2024} $$ по модулю 34. Так как $$ 34=2\cdot 17 $$, воспользуемся китайской теоремой об остатках, найдя остатки по модулям 2 и 17.

**1. Вычисление по модулю 2:**

Учитывая, что $$ 5\equiv1\pmod{2} $$ и $$ 3\equiv1\pmod{2} $$, получаем:
$$
5^{2024}\equiv 1^{2024}=1 \pmod{2},\quad 3^{2024}\equiv 1^{2024}=1 \pmod{2}.
$$
Тогда разность:
$$
5^{2024}-3^{2024}\equiv 1-1\equiv 0 \pmod{2}.
$$

**2. Вычисление по модулю 17:**

Так как 17 – простое число, применим малую теорему Ферма: для любого $$ a $$ (не делящегося на 17) верно, что
$$
a^{16}\equiv1\pmod{17}.
$$
Найдем остаток от деления показателя 2024 на 16:
$$
2024\div16=126\text{ с остатком }8,\quad\text{то есть }2024\equiv 8\pmod{16}.
$$
Таким образом:
$$
5^{2024}\equiv 5^8 \pmod{17},\quad 3^{2024}\equiv 3^8 \pmod{17}.
$$

Вычислим $$ 5^8 $$ по модулю 17:
- $$ 5^2=25\equiv8 \pmod{17} $$.
- $$ 5^4=(5^2)^2\equiv 8^2=64\equiv64-51=13 \pmod{17} $$.
- $$ 5^8=(5^4)^2\equiv 13^2=169\equiv169-153=16 \equiv -1 \pmod{17} $$.

Вычислим $$ 3^8 $$ по модулю 17:
- $$ 3^2=9 $$.
- $$ 3^4=(3^2)^2=9^2=81\equiv81-68=13 \pmod{17} $$.
- $$ 3^8=(3^4)^2\equiv 13^2=169\equiv169-153=16 \equiv -1 \pmod{17} $$.

Таким образом,
$$
5^8\equiv -1 \pmod{17},\quad 3^8\equiv -1 \pmod{17}.
$$
Отсюда:
$$
5^{2024}-3^{2024}\equiv -1-(-1)\equiv0\pmod{17}.
$$

**3. Применение китайской теоремы об остатках:**

Мы получили:
$$
5^{2024}-3^{2024}\equiv0\pmod{2} \quad \text{и} \quad 5^{2024}-3^{2024}\equiv0\pmod{17}.
$$
Следовательно, по китайской теореме об остатках:
$$
5^{2024}-3^{2024}\equiv0\pmod{34}.
$$

Таким образом, остаток от деления $$ 5^{2024}-3^{2024} $$ на 34 равен $$0$$.
Остаток равен 0.

ayirmani 34 ga bo’lgandagi qoldiqni toping.

Upstudy AI Solution

Answer

Solution

Extra Insights

Related Questions

Latest Arithmetic Questions