Exercice $$ 3:(3 $$ prts) Soil $$ E F G $$ un triangle tel que : $$ E F=\sqrt{5} ; E G=\sqrt{2} $$ et $$ G F=\sqrt{3} $$ 1. Montrer que le triangle $$ E F G $$ est rectangle. 2. Calculer cos $$ \hat{E} $$ et $$ \sin \hat{E} $$. 3. En déduire sin $$ \hat{F} $$ et tan $$ \hat{F} $$.

Question

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Pour résoudre cet exercice, nous allons procéder étape par étape.

### 1. Montrer que le triangle $$ EFG $$ est rectangle.

Pour montrer que le triangle $$ EFG $$ est rectangle, nous allons utiliser le théorème de Pythagore. Un triangle est rectangle si le carré de la longueur du plus long côté est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.

Les longueurs des côtés sont :
- $$ EF = \sqrt{5} $$
- $$ EG = \sqrt{2} $$
- $$ GF = \sqrt{3} $$

Nous devons identifier le plus long côté. Ici, $$ EF = \sqrt{5} $$ est le plus long côté.

Vérifions si le théorème de Pythagore est vérifié :
$$
EF^2 = EG^2 + GF^2
$$
Calculons chaque terme :
$$
EF^2 = (\sqrt{5})^2 = 5
$$
$$
EG^2 = (\sqrt{2})^2 = 2
$$
$$
GF^2 = (\sqrt{3})^2 = 3
$$
Maintenant, additionnons $$ EG^2 $$ et $$ GF^2 $$ :
$$
EG^2 + GF^2 = 2 + 3 = 5
$$
Nous avons donc :
$$
EF^2 = EG^2 + GF^2 \implies 5 = 5
$$
Cela montre que le triangle $$ EFG $$ est rectangle en $$ G $$.

### 2. Calculer $$ \cos \hat{E} $$ et $$ \sin \hat{E} $$.

Dans un triangle rectangle, nous pouvons utiliser les définitions des fonctions trigonométriques. Pour l'angle $$ \hat{E} $$ :
- Le côté adjacent à $$ \hat{E} $$ est $$ EG $$.
- Le côté opposé à $$ \hat{E} $$ est $$ GF $$.
- L'hypoténuse est $$ EF $$.

Nous avons donc :
$$
\cos \hat{E} = \frac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}} = \frac{EG}{EF} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{10}}{5}
$$
$$
\sin \hat{E} = \frac{\text{côté opposé}}{\text{hypoténuse}} = \frac{GF}{EF} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{15}}{5}
$$

### 3. En déduire $$ \sin \hat{F} $$ et $$ \tan \hat{F} $$.

Pour trouver $$ \sin \hat{F} $$, nous utilisons le fait que dans un triangle, la somme des angles est $$ 180^\circ $$. Puisque $$ \hat{E} + \hat{F} + 90^\circ = 180^\circ $$, nous avons :
$$
\hat{F} = 90^\circ - \hat{E}
$$
Ainsi, nous pouvons utiliser la relation suivante :
$$
\sin \hat{F} = \cos \hat{E}
$$
Nous avons déjà calculé $$ \cos \hat{E} $$ :
$$
\sin \hat{F} = \frac{\sqrt{10}}{5}
$$

Pour $$ \tan \hat{F} $$, nous utilisons la définition de la tangente :
$$
\tan \hat{F} = \frac{\sin \hat{F}}{\cos \hat{F}}
$$
Nous savons que :
$$
\cos \hat{F} = \sin \hat{E} = \frac{\sqrt{15}}{5}
$$
Donc :
$$
\tan \hat{F} = \frac{\sin \hat{F}}{\cos \hat{F}} = \frac{\frac{\sqrt{10}}{5}}{\frac{\sqrt{15}}{5}} = \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{15}} = \frac{\sqrt{2}}{3}
$$

### Résumé des résultats :
1. Le triangle $$ EFG $$ est rectangle en $$ G $$.
2. $$ \cos \hat{E} = \frac{\sqrt{10}}{5} $$ et $$ \sin \hat{E} = \frac{\sqrt{15}}{5} $$.
3. $$ \sin \hat{F} = \frac{\sqrt{10}}{5} $$ et $$ \tan \hat{F} = \frac{\sqrt{2}}{3} $$.
1. Le triangle $$ EFG $$ est rectangle en $$ G $$. 2. $$ \cos \hat{E} = \frac{\sqrt{10}}{5} $$, $$ \sin \hat{E} = \frac{\sqrt{15}}{5} $$. 3. $$ \sin \hat{F} = \frac{\sqrt{10}}{5} $$, $$ \tan \hat{F} = \frac{\sqrt{2}}{3} $$.

Exercice \( 3:(3 \) prts) Soil \( E F G \) un triangle tel que : \( E F=\sqrt{5} ; E G=\sqrt{2} \) et \( G F=\sqrt{3} \) 1. Montrer que le triangle \( E F G \) est rectangle. 2. Calculer cos \( \hat{E} \) et \( \sin \hat{E} \). 3. En déduire sin \( \hat{F} \) et tan \( \hat{F} \).

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