$$ [10 \mathrm{p}] $$ Calcule la matriz $$ X $$ que satisface: $$ (A X)^{-1}=A B \text {, siendo } A=\left(\begin{array}{cc}-1 & 1 \ 1 & 0\end{array}\right) \quad y \quad B=\left(\begin{array}{cc}-1 & 1 \ 1 & -2\end{array}\right) $$

Question

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Para resolver la ecuación $$(A X)^{-1} = A B$$, seguimos los siguientes pasos:

1. **Despejar $$X$$:**
   $$
   (A X)^{-1} = A B \implies A X = (A B)^{-1} \implies X = A^{-1} (A B)^{-1}
   $$
   
2. **Simplificar $$(A B)^{-1}$$:**
   $$
   (A B)^{-1} = B^{-1} A^{-1}
   $$
   Por lo tanto:
   $$
   X = A^{-1} B^{-1} A^{-1}
   $$

3. **Calcular $$A^{-1}$$ y $$B^{-1}$$:**
   
   - Matriz $$A$$:
     $$
     A = \begin{pmatrix}
     -1 & 1 \
     1 & 0 
     \end{pmatrix}
     $$
     Determinante de $$A$$:
     $$
     \det(A) = (-1)(0) - (1)(1) = -1
     $$
     Inversa de $$A$$:
     $$
     A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \begin{pmatrix}
     0 & -1 \
     -1 & -1 
     \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
     0 & 1 \
     1 & 1 
     \end{pmatrix}
     $$
   
   - Matriz $$B$$:
     $$
     B = \begin{pmatrix}
     -1 & 1 \
     1 & -2 
     \end{pmatrix}
     $$
     Determinante de $$B$$:
     $$
     \det(B) = (-1)(-2) - (1)(1) = 2 - 1 = 1
     $$
     Inversa de $$B$$:
     $$
     B^{-1} = \begin{pmatrix}
     -2 & -1 \
     -1 & -1 
     \end{pmatrix}
     $$

4. **Multiplicar las matrices inversas:**
   $$
   X = A^{-1} B^{-1} A^{-1} = \begin{pmatrix}
   0 & 1 \
   1 & 1 
   \end{pmatrix} \begin{pmatrix}
   -2 & -1 \
   -1 & -1 
   \end{pmatrix} \begin{pmatrix}
   0 & 1 \
   1 & 1 
   \end{pmatrix}
   $$
   
   Primero, multiplicamos $$A^{-1}$$ por $$B^{-1}$$:
   $$
   \begin{pmatrix}
   0 & 1 \
   1 & 1 
   \end{pmatrix} \begin{pmatrix}
   -2 & -1 \
   -1 & -1 
   \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
   -1 & -1 \
   -3 & -2 
   \end{pmatrix}
   $$
   
   Luego, multiplicamos el resultado por $$A^{-1}$$:
   $$
   \begin{pmatrix}
   -1 & -1 \
   -3 & -2 
   \end{pmatrix} \begin{pmatrix}
   0 & 1 \
   1 & 1 
   \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
   -1 & -2 \
   -2 & -5 
   \end{pmatrix}
   $$
   
Por lo tanto, la matriz $$X$$ que satisface la ecuación dada es:

$$
X = \begin{pmatrix}
-1 & -2 \
-2 & -5 
\end{pmatrix}
$$
La matriz $$ X $$ que satisface la ecuación $$(A X)^{-1} = A B$$ es: $$ X = \begin{pmatrix} -1 & -2 \ -2 & -5 \end{pmatrix} $$

\( [10 \mathrm{p}] \) Calcule la matriz \( X \) que satisface: \[ (A X)^{-1}=A B \text {, siendo } A=\left(\begin{array}{cc}-1 & 1 \\ 1 & 0\end{array}\right) \quad y \quad B=\left(\begin{array}{cc}-1 & 1 \\ 1 & -2\end{array}\right) \]

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