$$ 115^{2024}-3^{2024} $$ ayirmani 34 ga bo'lgandagi qoldiqni toping. $$ \begin{array}{llll} ext { A) } 24 & ext { B) } 0 & ext { C) } 2 & ext { D) } 18\end{array} $$

Question

$$ 115^{2024}-3^{2024} $$ ayirmani 34 ga bo'lgandagi qoldiqni toping. $$ \begin{array}{llll}	ext { A) } 24 & 	ext { B) } 0 & 	ext { C) } 2 & 	ext { D) } 18\end{array} $$

UpStudy AI · Accepted Answer

Мы должны найти остаток от деления выражения
$$
115^{2024}-3^{2024}
$$
на $$34$$.

**Шаг 1. Приведение основания к вычету по модулю 34**

Найдем $$115 \mod 34$$. Так как
$$
34 \times 3 = 102,\quad 115-102=13,
$$
то
$$
115 \equiv 13 \pmod{34}.
$$
Следовательно, выражение принимает вид
$$
13^{2024}-3^{2024} \pmod{34}.
$$

**Шаг 2. Разложение по модулям 2 и 17**

Заметим, что $$34 = 2 \times 17$$. Найдём остатки по модулям 2 и 17 отдельно.

*По модулю 2:*

Так как $$13 \equiv 1 \pmod{2}$$ и $$3 \equiv 1 \pmod{2}$$, то
$$
13^{2024} \equiv 1^{2024}\equiv 1 \pmod{2},\quad 3^{2024} \equiv 1^{2024}\equiv 1 \pmod{2}.
$$
Отсюда
$$
13^{2024}-3^{2024} \equiv 1-1 \equiv 0 \pmod{2}.
$$

*По модулю 17:*

Применим малую теорему Ферма, которая утверждает, что для числа $$a$$, взаимно простого с 17, верно
$$
a^{16} \equiv 1 \pmod{17}.
$$
Найдем остаток от деления показателей: 
$$
2024 = 16 \times 126 + 8.
$$
Тогда
$$
13^{2024} = \left(13^{16}\right)^{126}\cdot 13^8 \equiv 1^{126}\cdot 13^8 \equiv 13^8 \pmod{17},
$$
и аналогично,
$$
3^{2024} \equiv 3^8 \pmod{17}.
$$

Вычислим $$13^8$$ и $$3^8$$ по модулю 17.

Найдем сначала $$13^2$$:
$$
13^2=169 \equiv 169 - 10\cdot 17=169-170=-1 \pmod{17}.
$$
Отсюда
$$
13^2\equiv -1 \pmod{17} \quad \Rightarrow \quad 13^4=\left(13^2\right)^2\equiv (-1)^2\equiv 1 \pmod{17},
$$
и
$$
13^8=\left(13^4\right)^2\equiv 1^2\equiv 1 \pmod{17}.
$$

Теперь вычислим $$3^8$$:
$$
3^2=9 \pmod{17},
$$
$$
3^4=9^2=81 \equiv 81-4\cdot 17=81-68=13 \pmod{17},
$$
и
$$
3^8=\left(3^4\right)^2\equiv 13^2 \equiv -1 \pmod{17}.
$$

Таким образом,
$$
13^{8}-3^{8}\equiv 1-(-1)=2 \pmod{17}.
$$
Получаем:
$$
13^{2024}-3^{2024} \equiv 2 \pmod{17}.
$$

**Шаг 3. Составление системы сравнений и применение Китайской теоремы об остатках**

Найденные сравнения:
$$
\begin{cases}
X \equiv 0 \pmod{2},\[1mm]
X \equiv 2 \pmod{17}.
\end{cases}
$$

Найдем число $$X$$ от 0 до 33, удовлетворяющее этим условиям.

Так как $$X\equiv 2 \pmod{17}$$, рассмотрим вид $$X=2+17k$$ с целым $$k$$. При $$k=0$$, $$X=2$$. Проверим условие по модулю 2:
$$
2 \equiv 0 \pmod{2}.
$$
Условие выполняется.

Таким образом, остаток от деления равен $$\boxed{2}$$.

**Ответ: 2 (вариант C).**
Остаток от деления $$115^{2024}-3^{2024}$$ на 34 равен 2.

ayirmani 34 ga bo’lgandagi qoldiqni toping.

Upstudy AI Solution

Answer

Solution

Extra Insights

Related Questions

Latest Arithmetic Questions