Answer
La solution du système est \( x = 3 \) et \( y = 9 \).
Solution
Résolvons le système d'équations suivant :
\[
\begin{cases}
9x \cdot y^{\frac{1}{2}} = y^{2} \\
(3y)^{3} \cdot (27x)^{-\frac{3}{2}} = x^{3}
\end{cases}
\]
### Étape 1 : Simplifier la première équation
\[
9x \cdot y^{\frac{1}{2}} = y^{2}
\]
Divisons les deux côtés par \( y^{\frac{1}{2}} \) (en supposant que \( y > 0 \)) :
\[
9x = y^{\frac{3}{2}} \quad \Rightarrow \quad x = \frac{y^{\frac{3}{2}}}{9}
\]
### Étape 2 : Simplifier la deuxième équation
\[
(3y)^{3} \cdot (27x)^{-\frac{3}{2}} = x^{3}
\]
Développons chaque terme :
\[
(3y)^{3} = 27y^{3}
\]
\[
(27x)^{-\frac{3}{2}} = \frac{1}{(27x)^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{27^{\frac{3}{2}} \cdot x^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{3^{\frac{9}{2}} \cdot x^{\frac{3}{2}}}
\]
Ainsi, la deuxième équation devient :
\[
27y^{3} \cdot \frac{1}{3^{\frac{9}{2}} \cdot x^{\frac{3}{2}}} = x^{3}
\]
Simplifions :
\[
\frac{27y^{3}}{3^{\frac{9}{2}} \cdot x^{\frac{3}{2}}} = x^{3}
\]
Sachant que \( 27 = 3^{3} \), nous avons :
\[
\frac{3^{3} y^{3}}{3^{\frac{9}{2}} \cdot x^{\frac{3}{2}}} = x^{3} \quad \Rightarrow \quad \frac{y^{3}}{3^{\frac{3}{2}} \cdot x^{\frac{3}{2}}} = x^{3}
\]
Multiplions les deux côtés par \( 3^{\frac{3}{2}} \cdot x^{\frac{3}{2}} \) :
\[
y^{3} = 3^{\frac{3}{2}} \cdot x^{\frac{9}{2}}
\]
### Étape 3 : Substituer \( x \) dans la deuxième équation
Nous avons déjà exprimé \( x \) en fonction de \( y \) :
\[
x = \frac{y^{\frac{3}{2}}}{9}
\]
Substituons cette expression dans l'équation obtenue à l'étape précédente :
\[
y^{3} = 3^{\frac{3}{2}} \cdot \left( \frac{y^{\frac{3}{2}}}{9} \right)^{\frac{9}{2}}
\]
Simplifions l'expression :
\[
y^{3} = 3^{\frac{3}{2}} \cdot \frac{y^{\frac{27}{4}}}{9^{\frac{9}{2}}} = 3^{\frac{3}{2}} \cdot \frac{y^{\frac{27}{4}}}{3^{9}} = \frac{y^{\frac{27}{4}}}{3^{\frac{15}{2}}}
\]
Multipliant les deux côtés par \( 3^{\frac{15}{2}} \) :
\[
3^{\frac{15}{2}} \cdot y^{3} = y^{\frac{27}{4}}
\]
Divisons par \( y^{3} \) (en supposant \( y \neq 0 \)) :
\[
3^{\frac{15}{2}} = y^{\frac{27}{4} - 3} = y^{\frac{15}{4}}
\]
Résolvons pour \( y \) :
\[
y^{\frac{15}{4}} = 3^{\frac{15}{2}} \quad \Rightarrow \quad y = \left(3^{\frac{15}{2}}\right)^{\frac{4}{15}} = 3^{2} = 9
\]
### Étape 4 : Trouver \( x \)
Utilisons la première équation pour trouver \( x \) :
\[
x = \frac{y^{\frac{3}{2}}}{9} = \frac{9^{\frac{3}{2}}}{9} = \frac{27}{9} = 3
\]
### Conclusion
La solution du système est :
\[
x = 3 \quad \text{et} \quad y = 9
\]
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