\( \frac { \left\{ \begin{array} { l } { 9 x \cdot y ^ { + \frac { 1 } { 2 } } = y ^ { 2 } } \\ { ( 3 y ) ^ { 3 } \cdot ( 27 x ) ^ { - \frac { 3 } { 2 } } = x ^ { 3 } } \end{array} \right. } { 3 } \)

Résolvons le système d'équations suivant : \[ \begin{cases} 9x \cdot y^{\frac{1}{2}} = y^{2} \\ (3y)^{3} \cdot (27x)^{-\frac{3}{2}} = x^{3} \end{cases} \] ### Étape 1 : Simplifier la première équation \[ 9x \cdot y^{\frac{1}{2}} = y^{2} \] Divisons les deux côtés par \( y^{\frac{1}{2}} \) (en supposant que \( y > 0 \)) : \[ 9x = y^{\frac{3}{2}} \quad \Rightarrow \quad x = \frac{y^{\frac{3}{2}}}{9} \] ### Étape 2 : Simplifier la deuxième équation \[ (3y)^{3} \cdot (27x)^{-\frac{3}{2}} = x^{3} \] Développons chaque terme : \[ (3y)^{3} = 27y^{3} \] \[ (27x)^{-\frac{3}{2}} = \frac{1}{(27x)^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{27^{\frac{3}{2}} \cdot x^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{3^{\frac{9}{2}} \cdot x^{\frac{3}{2}}} \] Ainsi, la deuxième équation devient : \[ 27y^{3} \cdot \frac{1}{3^{\frac{9}{2}} \cdot x^{\frac{3}{2}}} = x^{3} \] Simplifions : \[ \frac{27y^{3}}{3^{\frac{9}{2}} \cdot x^{\frac{3}{2}}} = x^{3} \] Sachant que \( 27 = 3^{3} \), nous avons : \[ \frac{3^{3} y^{3}}{3^{\frac{9}{2}} \cdot x^{\frac{3}{2}}} = x^{3} \quad \Rightarrow \quad \frac{y^{3}}{3^{\frac{3}{2}} \cdot x^{\frac{3}{2}}} = x^{3} \] Multiplions les deux côtés par \( 3^{\frac{3}{2}} \cdot x^{\frac{3}{2}} \) : \[ y^{3} = 3^{\frac{3}{2}} \cdot x^{\frac{9}{2}} \] ### Étape 3 : Substituer \( x \) dans la deuxième équation Nous avons déjà exprimé \( x \) en fonction de \( y \) : \[ x = \frac{y^{\frac{3}{2}}}{9} \] Substituons cette expression dans l'équation obtenue à l'étape précédente : \[ y^{3} = 3^{\frac{3}{2}} \cdot \left( \frac{y^{\frac{3}{2}}}{9} \right)^{\frac{9}{2}} \] Simplifions l'expression : \[ y^{3} = 3^{\frac{3}{2}} \cdot \frac{y^{\frac{27}{4}}}{9^{\frac{9}{2}}} = 3^{\frac{3}{2}} \cdot \frac{y^{\frac{27}{4}}}{3^{9}} = \frac{y^{\frac{27}{4}}}{3^{\frac{15}{2}}} \] Multipliant les deux côtés par \( 3^{\frac{15}{2}} \) : \[ 3^{\frac{15}{2}} \cdot y^{3} = y^{\frac{27}{4}} \] Divisons par \( y^{3} \) (en supposant \( y \neq 0 \)) : \[ 3^{\frac{15}{2}} = y^{\frac{27}{4} - 3} = y^{\frac{15}{4}} \] Résolvons pour \( y \) : \[ y^{\frac{15}{4}} = 3^{\frac{15}{2}} \quad \Rightarrow \quad y = \left(3^{\frac{15}{2}}\right)^{\frac{4}{15}} = 3^{2} = 9 \] ### Étape 4 : Trouver \( x \) Utilisons la première équation pour trouver \( x \) : \[ x = \frac{y^{\frac{3}{2}}}{9} = \frac{9^{\frac{3}{2}}}{9} = \frac{27}{9} = 3 \] ### Conclusion La solution du système est : \[ x = 3 \quad \text{et} \quad y = 9 \]