Plantea la ecuación cuadrática de los siguientes problemas y obtén su solución. 1. Encontrar dos números tales que su suma sea 34 y su producto 273. 2. Encontrar un número tal que dos veces su cuadrado exceda al propio número en 45 . 3. El perimetro de un rectángulo es 320 cm . Calcular su área si su largo es el triple de su ancho. 4. La diferencia entre los lados de un rectángulo es 70 cm . Calcular esos lados sabiendo que su diagonal mide 130 cm . 5. Dos motoristas distanciados por 130 km , parten para encontrarse. Si la velocidad de uno es de $$ 30 \mathrm{~km} / \mathrm{h} $$ y la velocidad del otro es 33 más que el número de horas que pasan antes del encuentro. Determinar la distancia recorrida por ambos antes de encontrarse y el tiempo transcurrido desde que partieron. 6. Una lámina rectangular de aluminio de perímetro 96 cm se utiliza para confeccionar una caja sin tapa. Para ello se corta un cuadrado de 4 cm de lado en cada esquina y se sueldan los bordes. ¿Cuáles son las dimensiones de la lámina usada si el volumen de la caja es de $$ 768 \mathrm{~cm}^{3} $$ ?

Question

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Claro, resolvamos cada uno de los problemas planteados paso a paso.

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### **1. Encontrar dos números tales que su suma sea 34 y su producto 273.**

**Planteamiento de la ecuación cuadrática:**

Sea $$ x $$ uno de los números, entonces el otro número es $$ 34 - x $$.

Según el enunciado:
$$
x \cdot (34 - x) = 273
$$
$$
34x - x^2 = 273
$$
$$
x^2 - 34x + 273 = 0
$$

**Resolución de la ecuación:**

Usamos la fórmula cuadrática:
$$
x = \frac{34 \pm \sqrt{34^2 - 4 \cdot 1 \cdot 273}}{2}
$$
$$
x = \frac{34 \pm \sqrt{1156 - 1092}}{2}
$$
$$
x = \frac{34 \pm \sqrt{64}}{2}
$$
$$
x = \frac{34 \pm 8}{2}
$$

Entonces:
$$
x_1 = \frac{34 + 8}{2} = 21
$$
$$
x_2 = \frac{34 - 8}{2} = 13
$$

**Solución:**
Los dos números son **21** y **13**.

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### **2. Encontrar un número tal que dos veces su cuadrado exceda al propio número en 45.**

**Planteamiento de la ecuación cuadrática:**

Sea $$ x $$ el número buscado.

Según el enunciado:
$$
2x^2 - x = 45
$$
$$
2x^2 - x - 45 = 0
$$

**Resolución de la ecuación:**

Aplicamos la fórmula cuadrática:
$$
x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 360}}{4}
$$
$$
x = \frac{1 \pm \sqrt{361}}{4}
$$
$$
x = \frac{1 \pm 19}{4}
$$

Entonces:
$$
x_1 = \frac{1 + 19}{4} = 5
$$
$$
x_2 = \frac{1 - 19}{4} = -4.5
$$

**Solución:**
Los números que cumplen son **5** y **-4.5**.

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### **3. El perímetro de un rectángulo es 320 cm. Calcular su área si su largo es el triple de su ancho.**

**Planteamiento de la ecuación cuadrática:**

Sea $$ x $$ el ancho del rectángulo, entonces el largo es $$ 3x $$.

El perímetro es:
$$
2(x + 3x) = 320
$$
$$
8x = 320
$$
$$
x = 40 \text{ cm}
$$

**Verificación:**
Dado que $$ 8x = 320 $$, $$ x = 40 $$ cm es una solución lineal, no cuadrática.

**Cálculo del área:**
$$
\text{Área} = x \cdot 3x = 3x^2 = 3 \cdot 40^2 = 3 \cdot 1600 = 4800 \text{ cm}^2
$$

**Solución:**
El área del rectángulo es **4800 cm²**.

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### **4. La diferencia entre los lados de un rectángulo es 70 cm. Calcular esos lados sabiendo que su diagonal mide 130 cm.**

**Planteamiento de la ecuación cuadrática:**

Sea $$ x $$ el lado más corto, entonces el otro lado es $$ x + 70 $$.

Según el teorema de Pitágoras:
$$
x^2 + (x + 70)^2 = 130^2
$$
$$
x^2 + x^2 + 140x + 4900 = 16900
$$
$$
2x^2 + 140x + 4900 - 16900 = 0
$$
$$
2x^2 + 140x - 12000 = 0
$$
$$
x^2 + 70x - 6000 = 0
$$

**Resolución de la ecuación:**
$$
x = \frac{-70 \pm \sqrt{70^2 + 24000}}{2}
$$
$$
x = \frac{-70 \pm \sqrt{4900 + 24000}}{2}
$$
$$
x = \frac{-70 \pm \sqrt{28900}}{2}
$$
$$
x = \frac{-70 \pm 170}{2}
$$

Entonces:
$$
x_1 = \frac{100}{2} = 50 \text{ cm}
$$
$$
x_2 = \frac{-240}{2} = -120 \text{ cm} \quad (\text{No es válido})
$$

**Solución:**
Los lados del rectángulo son **50 cm** y **120 cm**.

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### **5. Dos motoristas distanciados por 130 km, parten para encontrarse. Si la velocidad de uno es de 30 km/h y la velocidad del otro es 33 más que el número de horas que pasan antes del encuentro. Determinar la distancia recorrida por ambos antes de encontrarse y el tiempo transcurrido desde que partieron.**

**Planteamiento de la ecuación cuadrática:**

Sea $$ t $$ el tiempo en horas hasta el encuentro.

Velocidad del primer motorista: $$ 30 $$ km/h.

Velocidad del segundo motorista: $$ t + 33 $$ km/h.

La distancia total recorrida es:
$$
30t + (t + 33)t = 130
$$
$$
30t + t^2 + 33t = 130
$$
$$
t^2 + 63t - 130 = 0
$$

**Resolución de la ecuación:**
$$
t = \frac{-63 \pm \sqrt{63^2 + 520}}{2}
$$
$$
t = \frac{-63 \pm \sqrt{3969 + 520}}{2}
$$
$$
t = \frac{-63 \pm \sqrt{4489}}{2}
$$
$$
t = \frac{-63 \pm 67}{2}
$$

Entonces:
$$
t_1 = \frac{4}{2} = 2 \text{ horas}
$$
$$
t_2 = \frac{-130}{2} = -65 \text{ horas} \quad (\text{No es válido})
$$

**Cálculo de las distancias:**
$$
\text{Distancia del primer motorista} = 30 \times 2 = 60 \text{ km}
$$
$$
\text{Velocidad del segundo motorista} = 2 + 33 = 35 \text{ km/h}
$$
$$
\text{Distancia del segundo motorista} = 35 \times 2 = 70 \text{ km}
$$

**Verificación:**
$$
60 + 70 = 130 \text{ km}
$$

**Solución:**
- **Tiempo transcurrido:** 2 horas.
- **Distancias recorridas:** 60 km y 70 km.

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### **6. Una lámina rectangular de aluminio de perímetro 96 cm se utiliza para confeccionar una caja sin tapa. Para ello se corta un cuadrado de 4 cm de lado en cada esquina y se sueldan los bordes. ¿Cuáles son las dimensiones de la lámina usada si el volumen de la caja es de 768 cm³?**

**Planteamiento de la ecuación cuadrática:**

Sea $$ L $$ el largo y $$ A $$ el ancho de la lámina.

Perímetro:
$$
2L + 2A = 96
$$
$$
L + A = 48 \quad \Rightarrow \quad A = 48 - L
$$

Al cortar cuadrados de 4 cm en cada esquina y sueldar, las dimensiones de la caja serán:
- Largo interno: $$ L - 8 $$ cm
- Ancho interno: $$ A - 8 $$ cm
- Alto: 4 cm

Volumen:
$$
(L - 8)(A - 8) \times 4 = 768
$$
$$
(L - 8)(A - 8) = 192
$$
$$
(L - 8)(48 - L - 8) = 192
$$
$$
(L - 8)(40 - L) = 192
$$
$$
- L^2 + 48L - 320 = 192
$$
$$
L^2 - 48L + 512 = 0
$$

**Resolución de la ecuación:**
$$
L = \frac{48 \pm \sqrt{48^2 - 4 \cdot 1 \cdot 512}}{2}
$$
$$
L = \frac{48 \pm \sqrt{2304 - 2048}}{2}
$$
$$
L = \frac{48 \pm \sqrt{256}}{2}
$$
$$
L = \frac{48 \pm 16}{2}
$$

Entonces:
$$
L_1 = \frac{64}{2} = 32 \text{ cm}
$$
$$
L_2 = \frac{32}{2} = 16 \text{ cm}
$$

**Determinar $$ A $$:**
- Si $$ L = 32 $$ cm, entonces $$ A = 48 - 32 = 16 $$ cm.
- Si $$ L = 16 $$ cm, entonces $$ A = 48 - 16 = 32 $$ cm.

**Solución:**
Las dimensiones de la lámina son **32 cm x 16 cm**.

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1. **Números que suman 34 y multiplican 273:** 21 y 13. 2. **Número tal que 2x² excede x en 45:** 5 y -4.5. 3. **Área del rectángulo con perímetro 320 cm y largo triple del ancho:** 4800 cm². 4. **Lados del rectángulo con diferencia 70 cm y diagonal 130 cm:** 50 cm y 120 cm. 5. **Distancia y tiempo para que dos motoristas se encuentren:** 2 horas, 60 km y 70 km. 6. **Dimensiones de la lámina para hacer una caja de volumen 768 cm³:** 32 cm x 16 cm.

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