Plantea la ecuación cuadrática de los siguientes problemas y obtén su solución. 1. Encontrar dos números tales que su suma sea 34 y su producto 273. 2. Encontrar un número tal que dos veces su cuadrado exceda al propio número en 45 . 3. El perimetro de un rectángulo es 320 cm . Calcular su área si su largo es el triple de su ancho. 4. La diferencia entre los lados de un rectángulo es 70 cm . Calcular esos lados sabiendo que su diagonal mide 130 cm . 5. Dos motoristas distanciados por 130 km , parten para encontrarse. Si la velocidad de uno es de \( 30 \mathrm{~km} / \mathrm{h} \) y la velocidad del otro es 33 más que el número de horas que pasan antes del encuentro. Determinar la distancia recorrida por ambos antes de encontrarse y el tiempo transcurrido desde que partieron. 6. Una lámina rectangular de aluminio de perímetro 96 cm se utiliza para confeccionar una caja sin tapa. Para ello se corta un cuadrado de 4 cm de lado en cada esquina y se sueldan los bordes. ¿Cuáles son las dimensiones de la lámina usada si el volumen de la caja es de \( 768 \mathrm{~cm}^{3} \) ?

Claro, resolvamos cada uno de los problemas planteados paso a paso. --- ### **1. Encontrar dos números tales que su suma sea 34 y su producto 273.** **Planteamiento de la ecuación cuadrática:** Sea \( x \) uno de los números, entonces el otro número es \( 34 - x \). Según el enunciado: \[ x \cdot (34 - x) = 273 \] \[ 34x - x^2 = 273 \] \[ x^2 - 34x + 273 = 0 \] **Resolución de la ecuación:** Usamos la fórmula cuadrática: \[ x = \frac{34 \pm \sqrt{34^2 - 4 \cdot 1 \cdot 273}}{2} \] \[ x = \frac{34 \pm \sqrt{1156 - 1092}}{2} \] \[ x = \frac{34 \pm \sqrt{64}}{2} \] \[ x = \frac{34 \pm 8}{2} \] Entonces: \[ x_1 = \frac{34 + 8}{2} = 21 \] \[ x_2 = \frac{34 - 8}{2} = 13 \] **Solución:** Los dos números son **21** y **13**. --- ### **2. Encontrar un número tal que dos veces su cuadrado exceda al propio número en 45.** **Planteamiento de la ecuación cuadrática:** Sea \( x \) el número buscado. Según el enunciado: \[ 2x^2 - x = 45 \] \[ 2x^2 - x - 45 = 0 \] **Resolución de la ecuación:** Aplicamos la fórmula cuadrática: \[ x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 360}}{4} \] \[ x = \frac{1 \pm \sqrt{361}}{4} \] \[ x = \frac{1 \pm 19}{4} \] Entonces: \[ x_1 = \frac{1 + 19}{4} = 5 \] \[ x_2 = \frac{1 - 19}{4} = -4.5 \] **Solución:** Los números que cumplen son **5** y **-4.5**. --- ### **3. El perímetro de un rectángulo es 320 cm. Calcular su área si su largo es el triple de su ancho.** **Planteamiento de la ecuación cuadrática:** Sea \( x \) el ancho del rectángulo, entonces el largo es \( 3x \). El perímetro es: \[ 2(x + 3x) = 320 \] \[ 8x = 320 \] \[ x = 40 \text{ cm} \] **Verificación:** Dado que \( 8x = 320 \), \( x = 40 \) cm es una solución lineal, no cuadrática. **Cálculo del área:** \[ \text{Área} = x \cdot 3x = 3x^2 = 3 \cdot 40^2 = 3 \cdot 1600 = 4800 \text{ cm}^2 \] **Solución:** El área del rectángulo es **4800 cm²**. --- ### **4. La diferencia entre los lados de un rectángulo es 70 cm. Calcular esos lados sabiendo que su diagonal mide 130 cm.** **Planteamiento de la ecuación cuadrática:** Sea \( x \) el lado más corto, entonces el otro lado es \( x + 70 \). Según el teorema de Pitágoras: \[ x^2 + (x + 70)^2 = 130^2 \] \[ x^2 + x^2 + 140x + 4900 = 16900 \] \[ 2x^2 + 140x + 4900 - 16900 = 0 \] \[ 2x^2 + 140x - 12000 = 0 \] \[ x^2 + 70x - 6000 = 0 \] **Resolución de la ecuación:** \[ x = \frac{-70 \pm \sqrt{70^2 + 24000}}{2} \] \[ x = \frac{-70 \pm \sqrt{4900 + 24000}}{2} \] \[ x = \frac{-70 \pm \sqrt{28900}}{2} \] \[ x = \frac{-70 \pm 170}{2} \] Entonces: \[ x_1 = \frac{100}{2} = 50 \text{ cm} \] \[ x_2 = \frac{-240}{2} = -120 \text{ cm} \quad (\text{No es válido}) \] **Solución:** Los lados del rectángulo son **50 cm** y **120 cm**. --- ### **5. Dos motoristas distanciados por 130 km, parten para encontrarse. Si la velocidad de uno es de 30 km/h y la velocidad del otro es 33 más que el número de horas que pasan antes del encuentro. Determinar la distancia recorrida por ambos antes de encontrarse y el tiempo transcurrido desde que partieron.** **Planteamiento de la ecuación cuadrática:** Sea \( t \) el tiempo en horas hasta el encuentro. Velocidad del primer motorista: \( 30 \) km/h. Velocidad del segundo motorista: \( t + 33 \) km/h. La distancia total recorrida es: \[ 30t + (t + 33)t = 130 \] \[ 30t + t^2 + 33t = 130 \] \[ t^2 + 63t - 130 = 0 \] **Resolución de la ecuación:** \[ t = \frac{-63 \pm \sqrt{63^2 + 520}}{2} \] \[ t = \frac{-63 \pm \sqrt{3969 + 520}}{2} \] \[ t = \frac{-63 \pm \sqrt{4489}}{2} \] \[ t = \frac{-63 \pm 67}{2} \] Entonces: \[ t_1 = \frac{4}{2} = 2 \text{ horas} \] \[ t_2 = \frac{-130}{2} = -65 \text{ horas} \quad (\text{No es válido}) \] **Cálculo de las distancias:** \[ \text{Distancia del primer motorista} = 30 \times 2 = 60 \text{ km} \] \[ \text{Velocidad del segundo motorista} = 2 + 33 = 35 \text{ km/h} \] \[ \text{Distancia del segundo motorista} = 35 \times 2 = 70 \text{ km} \] **Verificación:** \[ 60 + 70 = 130 \text{ km} \] **Solución:** - **Tiempo transcurrido:** 2 horas. - **Distancias recorridas:** 60 km y 70 km. --- ### **6. Una lámina rectangular de aluminio de perímetro 96 cm se utiliza para confeccionar una caja sin tapa. Para ello se corta un cuadrado de 4 cm de lado en cada esquina y se sueldan los bordes. ¿Cuáles son las dimensiones de la lámina usada si el volumen de la caja es de 768 cm³?** **Planteamiento de la ecuación cuadrática:** Sea \( L \) el largo y \( A \) el ancho de la lámina. Perímetro: \[ 2L + 2A = 96 \] \[ L + A = 48 \quad \Rightarrow \quad A = 48 - L \] Al cortar cuadrados de 4 cm en cada esquina y sueldar, las dimensiones de la caja serán: - Largo interno: \( L - 8 \) cm - Ancho interno: \( A - 8 \) cm - Alto: 4 cm Volumen: \[ (L - 8)(A - 8) \times 4 = 768 \] \[ (L - 8)(A - 8) = 192 \] \[ (L - 8)(48 - L - 8) = 192 \] \[ (L - 8)(40 - L) = 192 \] \[ - L^2 + 48L - 320 = 192 \] \[ L^2 - 48L + 512 = 0 \] **Resolución de la ecuación:** \[ L = \frac{48 \pm \sqrt{48^2 - 4 \cdot 1 \cdot 512}}{2} \] \[ L = \frac{48 \pm \sqrt{2304 - 2048}}{2} \] \[ L = \frac{48 \pm \sqrt{256}}{2} \] \[ L = \frac{48 \pm 16}{2} \] Entonces: \[ L_1 = \frac{64}{2} = 32 \text{ cm} \] \[ L_2 = \frac{32}{2} = 16 \text{ cm} \] **Determinar \( A \):** - Si \( L = 32 \) cm, entonces \( A = 48 - 32 = 16 \) cm. - Si \( L = 16 \) cm, entonces \( A = 48 - 16 = 32 \) cm. **Solución:** Las dimensiones de la lámina son **32 cm x 16 cm**. ---