Ko'paytuvchilarga ajrating: $$ a^{8}+a^{6} b^{2}+a^{4} b^{4}+a^{2} b^{6}+b^{8} $$

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

Чтобы разложить многочлен $$ a^{8} + a^{6} b^{2} + a^{4} b^{4} + a^{2} b^{6} + b^{8} $$ на множители, воспользуемся симметричностью выражения.

**Шаг 1: Замена переменных**

Пусть $$ x = a^{2} $$ и $$ y = b^{2} $$. Тогда исходный многочлен преобразуется следующим образом:

$$
x^{4} + x^{3} y + x^{2} y^{2} + x y^{3} + y^{4}
$$

**Шаг 2: Разложение на множители**

Предположим, что многочлен можно представить как произведение двух квадратичных многочленов:

$$
(x^{2} + p x y + y^{2})(x^{2} + q x y + y^{2})
$$

Раскроем скобки и приравняем коэффициенты:

$$
\begin{cases}
p + q = 1 \
pq + 2 = 1 \
p + q = 1 \
\end{cases}
$$

Из системы уравнений получаем:
$$
p + q = 1 \
p q = -1
$$

Решая квадратное уравнение $$ t^{2} - t - 1 = 0 $$, находим корни:
$$
t = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}
$$

Таким образом, множители будут:

$$
\left(x^{2} + \frac{1 + \sqrt{5}}{2} x y + y^{2}\right) \left(x^{2} + \frac{1 - \sqrt{5}}{2} x y + y^{2}\right)
$$

**Шаг 3: Возврат к исходным переменным**

Заменяем обратно $$ x = a^{2} $$ и $$ y = b^{2} $$:

$$
\left(a^{4} + \frac{1 + \sqrt{5}}{2} a^{2} b^{2} + b^{4}\right) \left(a^{4} + \frac{1 - \sqrt{5}}{2} a^{2} b^{2} + b^{4}\right)
$$

**Итоговое разложение:**

$$
a^{8} + a^{6} b^{2} + a^{4} b^{4} + a^{2} b^{6} + b^{8} = \left(a^{4} + \frac{1 + \sqrt{5}}{2} a^{2} b^{2} + b^{4}\right) \left(a^{4} + \frac{1 - \sqrt{5}}{2} a^{2} b^{2} + b^{4}\right)
$$
Многочлен $$ a^{8} + a^{6} b^{2} + a^{4} b^{4} + a^{2} b^{6} + b^{8} $$ можно разложить на множители следующим образом: $$ (a^{4} + \frac{1 + \sqrt{5}}{2} a^{2} b^{2} + b^{4})(a^{4} + \frac{1 - \sqrt{5}}{2} a^{2} b^{2} + b^{4}) $$ Это разложение достигнуто путем замены переменных и использования квадратичных множителей.

Ko’paytuvchilarga ajrating:

Upstudy AI Solution

Answer

Solution

The Deep Dive

Related Questions

Latest Algebra Questions