Ko'paytuvchilarga ajrating: \( a^{8}+a^{6} b^{2}+a^{4} b^{4}+a^{2} b^{6}+b^{8} \)

Чтобы разложить многочлен \( a^{8} + a^{6} b^{2} + a^{4} b^{4} + a^{2} b^{6} + b^{8} \) на множители, воспользуемся симметричностью выражения. **Шаг 1: Замена переменных** Пусть \( x = a^{2} \) и \( y = b^{2} \). Тогда исходный многочлен преобразуется следующим образом: \[ x^{4} + x^{3} y + x^{2} y^{2} + x y^{3} + y^{4} \] **Шаг 2: Разложение на множители** Предположим, что многочлен можно представить как произведение двух квадратичных многочленов: \[ (x^{2} + p x y + y^{2})(x^{2} + q x y + y^{2}) \] Раскроем скобки и приравняем коэффициенты: \[ \begin{cases} p + q = 1 \\ pq + 2 = 1 \\ p + q = 1 \\ \end{cases} \] Из системы уравнений получаем: \[ p + q = 1 \\ p q = -1 \] Решая квадратное уравнение \( t^{2} - t - 1 = 0 \), находим корни: \[ t = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2} \] Таким образом, множители будут: \[ \left(x^{2} + \frac{1 + \sqrt{5}}{2} x y + y^{2}\right) \left(x^{2} + \frac{1 - \sqrt{5}}{2} x y + y^{2}\right) \] **Шаг 3: Возврат к исходным переменным** Заменяем обратно \( x = a^{2} \) и \( y = b^{2} \): \[ \left(a^{4} + \frac{1 + \sqrt{5}}{2} a^{2} b^{2} + b^{4}\right) \left(a^{4} + \frac{1 - \sqrt{5}}{2} a^{2} b^{2} + b^{4}\right) \] **Итоговое разложение:** \[ a^{8} + a^{6} b^{2} + a^{4} b^{4} + a^{2} b^{6} + b^{8} = \left(a^{4} + \frac{1 + \sqrt{5}}{2} a^{2} b^{2} + b^{4}\right) \left(a^{4} + \frac{1 - \sqrt{5}}{2} a^{2} b^{2} + b^{4}\right) \]