I. Determina l'equazione della retta appartenente al fascio di equazione \( (1+k) x+(1+k) y+3 k-1=0 \) a. pasante per l'origine: \( \begin{array}{ll}\text { b. passante per }(-2 ;-5) \text { : } \\ \text { c. che interseca l'asse delle ascisse per } x=1 & \text { (a) } x+y=0 ; b) x+y+7=0 ; c) x+y-1=0\end{array} \)

Per determinare le equazioni delle rette appartenenti al fascio dato dall'equazione generale \[ (1 + k)x + (1 + k)y + 3k - 1 = 0, \] esamineremo ciascun sotto-punto richiesto. ### a. Retta passante per l'origine \((0, 0)\): Per trovare il valore di \(k\) che rende la retta passante per l'origine, sostituiamo \(x = 0\) e \(y = 0\) nell'equazione: \[ (1 + k)(0) + (1 + k)(0) + 3k - 1 = 0 \\ 0 + 0 + 3k - 1 = 0 \\ 3k - 1 = 0 \\ 3k = 1 \\ k = \frac{1}{3} \] Sostituendo questo valore di \(k\) nell'equazione originale: \[ \left(1 + \frac{1}{3}\right)x + \left(1 + \frac{1}{3}\right)y + 3\left(\frac{1}{3}\right) - 1 = 0 \\ \frac{4}{3}x + \frac{4}{3}y + 1 - 1 = 0 \\ \frac{4}{3}x + \frac{4}{3}y = 0 \\ Dividendo entrambi i lati per \(\frac{4}{3}\): \] \[ x + y = 0 \] **Risposta:** \(x + y = 0\) ### b. Retta passante per \((-2, -5)\): Sostituiamo \(x = -2\) e \(y = -5\) nell'equazione generale per trovare \(k\): \[ (1 + k)(-2) + (1 + k)(-5) + 3k - 1 = 0 \\ -2(1 + k) -5(1 + k) + 3k - 1 = 0 \\ -2 - 2k -5 -5k + 3k - 1 = 0 \\ (-2 -5 -1) + (-2k -5k +3k) = 0 \\ -8 -4k = 0 \\ -4k = 8 \\ k = -2 \] Sostituendo \(k = -2\) nell'equazione originale: \[ (1 - 2)x + (1 - 2)y + 3(-2) - 1 = 0 \\ -1x -1y -6 -1 = 0 \\ -x - y -7 = 0 \\ x + y + 7 = 0 \quad (\text{moltiplicando per } -1) \] **Risposta:** \(x + y + 7 = 0\) ### c. Retta che interseca l'asse delle ascisse per \(x = 1\): Una retta che interseca l'asse delle ascisse nel punto \((1, 0)\) soddisfa \(y = 0\) quando \(x = 1\). Sostituiamo \(x = 1\) e \(y = 0\) nell'equazione generale per trovare \(k\): \[ (1 + k)(1) + (1 + k)(0) + 3k - 1 = 0 \\ (1 + k) + 0 + 3k - 1 = 0 \\ 1 + k + 3k -1 = 0 \\ 4k = 0 \\ k = 0 \] Sostituendo \(k = 0\) nell'equazione originale: \[ (1 + 0)x + (1 + 0)y + 3(0) - 1 = 0 \\ x + y -1 = 0 \] **Risposta:** \(x + y - 1 = 0\) ### Riepilogo delle risposte: a) \(x + y = 0\) b) \(x + y + 7 = 0\) c) \(x + y - 1 = 0\)