Considera l'equazione \( x^{2}-(k-3) x-4=0 \). Determina per quali valori di \( k \) : a. ammette soluzioni reali; b. ammette soluzioni reali, opposte tra loro; c. ammette soluzioni reali tali che la somma dei loro quadrati è 17 ; d. ammette soluzioni reali, tali che la somma dei loro reciproci è -6 .

Perciò, per avere soluzioni reali dell'equazione quadratica \( ax^2 + bx + c = 0 \), il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero. Qui il discriminante è dato da \( D = (-(k-3))^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = (k-3)^2 + 16 \). Quindi, l'equazione ha soluzioni reali per qualsiasi valore di \( k \), poiché il discriminante è sempre positivo. Per avere soluzioni reali opposte tra loro, la somma deve essere zero, ovvero \( -(k-3) = 0 \). Questo implica che \( k = 3 \). Le soluzioni sarebbero così \( x_1 = 2 \) e \( x_2 = -2 \). Se vogliamo che la somma dei quadrati delle soluzioni sia 17, possiamo usare la relazione \( x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 \). Poiché \( s = k-3 \) e \( p = -4 \), otteniamo \( (k-3)^2 - 2(-4) = 17 \), che può essere semplificato per trovare i valori di \( k \). Infine, per avere la somma dei reciproci uguale a -6, possiamo utilizzare la relazione \( \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_1 + x_2}{x_1 x_2} \) e, quindi, \( \frac{-(k-3)}{-4} = \frac{k-3}{4} = -6 \). Risolvendo questa equazione, si arriva a trovare \( k \). Ora mettiamo insieme i risultati: a. Soluzioni reali per ogni valore di k. b. Soluzioni reali opposte per \( k = 3 \). c. Somma dei quadrati uguale a 17 per trovare i valori di k. d. Somma dei reciproci uguale a -6 per determinati valori di k.