On veut déterminer une primitive de la fonction \( g \) définie sur \( ]-\infty ; 1\left[\right. \) par : \( g(x)=\frac{2 x+3}{(x-1)^{2}}+\frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}} \). Soit \( h \) la fonction définie sur \( ]-\infty ; 1\left[\operatorname{par} h(x)=\frac{2 x+3}{(x-1)^{2}}\right. \) et \( f \) la fonction définie sur \( \mathbb{R} \) par \( f(x)=\frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}} \). 1) On admet que : \( \forall x \in]-\infty ; 1\left[, h(x)=\frac{5}{(x-1)^{2}}+\frac{2}{x-1}\right. \), détermine une primitive \( H \) de \( h \) sur \( ]-\infty ; 1 \) [.

Pour déterminer une primitive \( H \) de la fonction \( h(x) = \frac{5}{(x-1)^{2}} + \frac{2}{x-1} \), nous allons intégrer chaque terme séparément. Pour le premier terme, \( \int \frac{5}{(x-1)^{2}} \, dx \), on utilise la substitution \( u = x - 1 \), ce qui donne \( \int \frac{5}{u^{2}} \, du = -\frac{5}{u} + C = -\frac{5}{x-1} + C \). Pour le second terme, \( \int \frac{2}{x-1} \, dx \), on applique la formule de l'intégrale pour la fonction inverse, ce qui mène à \( 2 \ln |x-1| + K \). En combinant les deux résultats, on obtient la primitive recherchée : \[ H(x) = -\frac{5}{x-1} + 2 \ln |x-1| + C. \] --- En ce qui concerne les fonctions, gardez à l'esprit que le domaine de \( H \) est limité par \( x < 1 \) et que les logarithmes ne sont pas définis pour des valeurs négatives. Ainsi, le terme \( \ln |x-1| \) s'adapte à ce domaine, car \( x-1 < 0 \) pour \( x < 1 \). Cela signifie que vous pouvez simplifier à \( \ln (1-x) \) dans le contexte de votre intégration, ce qui montre l'importance de bien choisir son domaine lors de l'intégration.