On veut déterminer une primitive de la fonction $$ g $$ définie sur $$ ]-\infty ; 1\left[\right. $$ par : $$ g(x)=\frac{2 x+3}{(x-1)^{2}}+\frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}} $$. Soit $$ h $$ la fonction définie sur $$ ]-\infty ; 1\left[\operatorname{par} h(x)=\frac{2 x+3}{(x-1)^{2}}\right. $$ et $$ f $$ la fonction définie sur $$ \mathbb{R} $$ par $$ f(x)=\frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}} $$. 1) On admet que : $$ \forall x \in]-\infty ; 1\left[, h(x)=\frac{5}{(x-1)^{2}}+\frac{2}{x-1}\right. $$, détermine une primitive $$ H $$ de $$ h $$ sur $$ ]-\infty ; 1 $$ [.

Question

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Pour déterminer une primitive $$ H $$ de la fonction $$ h $$ définie par
$$
h(x) = \frac{5}{(x-1)^{2}} + \frac{2}{x-1},
$$
nous intégrons terme par terme.

1. **Intégration du premier terme :**
$$
\int \frac{5}{(x-1)^{2}} \, dx = 5 \int (x-1)^{-2} \, dx = 5 \left( \frac{(x-1)^{-1}}{-1} \right) + C_1 = -\frac{5}{x-1} + C_1,
$$
où $$ C_1 $$ est une constante d'intégration.

2. **Intégration du second terme :**
$$
\int \frac{2}{x-1} \, dx = 2 \ln|x-1| + C_2,
$$
où $$ C_2 $$ est une autre constante d'intégration. 
Dans l'intervalle $$ ]-\infty ; 1[ $$, $$ x-1 $$ est négatif, donc $$ |x-1| = 1 - x $$. Ainsi,
$$
2 \ln|x-1| = 2 \ln(1 - x).
$$

3. **Expression de la primitive $$ H $$ :**
En rassemblant les deux intégrales et en considérant une seule constante $$ C = C_1 + C_2 $$, la primitive $$ H $$ de $$ h $$ est donnée par :
$$
H(x) = -\frac{5}{x-1} + 2 \ln(1 - x) + C.
$$

**Ainsi, une primitive de $$ h $$ sur $$ ]-\infty ; 1[ $$ est :**
$$
H(x) = -\frac{5}{x - 1} + 2\, \ln(1 - x) + C,
$$
où $$ C $$ est une constante d’intégration.
Une primitive de $$ h(x) = \frac{5}{(x-1)^2} + \frac{2}{x-1} $$ sur $$ ]-\infty ; 1[ $$ est : $$ H(x) = -\frac{5}{x - 1} + 2\, \ln(1 - x) + C, $$ où $$ C $$ est une constante d'intégration.

On veut déterminer une primitive de la fonction définie sur par : .
Soit la fonction définie sur et la fonction définie sur par .

On admet que : , détermine une primitive de sur [.

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