2. Respecto de la base canónica de $$ \mathbb{R}^{3} $$ hallar las matrices de las siguientes aplicaciones lineales: a) giro de $$ a $$ grados con respecto al eje $$ Z $$ (o recta cuyo vector director es $$ \vec{e}_{3}=(0,0,1) $$ ) b) Simetrín con respecto a la recta $$ x=0, y=0 $$. c) Proyección sobre el plano $$ x-y+z=0 $$ d) Simetría con respecto a la recta $$ (x, y, z)=t(1,1,1) $$ c) Giro de 90 grados con respecto a la recta $$ x+y=0, z=0 $$.

Question

Macdonald Wright · Accepted Answer

Here are the matrices for the given linear transformations in $$ \mathbb{R}^{3} $$: a) **Giro de $$ a $$ grados con respecto al eje $$ Z $$**: $$ R_z(a) = \begin{pmatrix} \cos(a) & -\sin(a) & 0 \ \sin(a) & \cos(a) & 0 \ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$ b) **Simetría con respecto al plano $$ xy $$**: $$ S_{xy} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} $$ c) **Proyección sobre el plano $$ x - y + z = 0 $$**: $$ P = \begin{pmatrix} \frac{2}{3} & \frac{1}{3} & -\frac{1}{3} \ \frac{1}{3} & \frac{2}{3} & -\frac{1}{3} \ -\frac{1}{3} & -\frac{1}{3} & \frac{2}{3} \end{pmatrix} $$ d) **Simetría con respecto a la recta $$ (1, 1, 1) $$**: $$ S = \begin{pmatrix} -\frac{1}{3} & \frac{2}{3} & \frac{2}{3} \ \frac{2}{3} & -\frac{1}{3} & \frac{2}{3} \ \frac{2}{3} & \frac{2}{3} & -\frac{1}{3} \end{pmatrix} $$ e) **Giro de 90 grados con respecto a la recta $$ x + y = 0, z = 0 $$**: $$ R_{xy}(90) = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \ 1 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$

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