COOZÜMLÜ ÔRNEK SORULAR Örnek 7.1 S; grubu içinde \( x=(12345), y=(43)(25) \) permulasyonlan verilsin i) \( G=\langle x, y> \) nin grup olacağmı tablo yaparak gösteriniz, ii) \( G \) nin orderm bulunuz. iii) G nin farklı orderh tüm alt gruplarm belirleyip her bir farkh order için bir ômek veriniz. iv) (iii) șlkta bulduğunuz alt gruplardan, \( G \) nin normal alt gruplan var mider? E3̧er varsa farkh orderlar için birer ömek veriniz. v) Eger iv) șikta aşikar olmayan farklı orderlı normal alt gruplar bulmustunız bunlarla ilgili bölüm gruplan hangi gruba izomorf olur hesaplayınız. vi) \( Z(G) \) yi hesaplaynnz. vii) Bu grup bildiğimiz hangi gruptur.

12. Given set \( \mathrm{A}=\{\emptyset,\{\emptyset\}, 0\} \), which of the following is true? C. \( \emptyset \subseteq A \) B. \( \{\emptyset\} \in A \) C. \( \{\{\emptyset\}\} \subseteq A \) D. All are correct 13. For any sets \( A \) and \( B \) which of the following is true. A. If \( B \subseteq A \), then \( B^{\prime} \subseteq A^{\prime} \) C. \( A-B=A \cap B^{\prime} \) B. If \( A \subseteq B \), then \( A \cup B=B \) D. all except A. Part Three: solve the following problems. 1. For any propositions \( p \) and \( q \), determine whether \( (p \wedge q) \Rightarrow(q \wedge \neg p) \) is tautology, contradiction or neither? 2. Show that the argument: \( p \Rightarrow q, \neg p \Rightarrow h, h \Rightarrow k \vdash \neg q \Rightarrow k \) is valid. 3. Let \( \mathrm{U}= \) the set of one digit counting numbers \( A=\{x: x \) is an even number in \( U\} \) \( B=\{x: x \) is a square number in \( U\} \) \( \mathrm{C}=\{x: x+2<10 \), where \( x \in U\} \), then find the following. A. \( (A \cup B) / C \) C. \( \left(A \cap B^{\prime}\right) \Delta C \) B. \( (A \Delta B) / C \) D. \( \left(A \cap B^{\prime}\right)^{\prime} \) 4. Write the converse, inverse and contrapositive of the conditional statement. "If it is cold or rainy, I will not take a walk."

2) a) Determine the whether the following expression is tautology, contradiction or contingency. i) \( \quad p \rightarrow((q \vee r) \wedge(p \wedge q)) \). ii) \( \quad p \vee q \leftrightarrow(r \wedge q) \).

Partie A: Évaluation des ressources (15,5points) Exercice 1: ( 3,5 points) Le plan complexe \( P \) est muni d'un repère orthonormé direct \( (O ; \vec{u} ; \vec{v}) \). A et \( B \) sont des points du plan d'affixes respectives \( i \) et \( -2+i . F \) est l'application de \( P-\{A\} \) vers \( P \) qui, à tout point \( M(z) \) associe le point \( M^{\prime}\left(z^{\prime}\right) \) tel que \( z^{\prime}=i\left(\frac{z+2-i}{z-i}\right) \). Pour tout entier naturel \( n \), on désigne par \( C_{n} \) le point d'affixe \( (\sqrt{3}-i)^{n} \). On considère dans \( \mathbb{C} \) l'équation \( (E): z^{2} \cos ^{2} \alpha-2 z \sin 2 \alpha+1=0 \) où \( \left.\alpha \in\right] 0 ; \frac{\pi}{2}[ \). 1) Pour quelles valeurs de \( n \) les points \( C_{n} \) appartiennent-ils à l'axe des réels ? 2) Déterminent \( n \) pour que les points \( C_{n} \) appartiennent à la première bissectrice. \( 0,75 p t \) 3) Déterminer l'ensemble des points invariants par \( F \). 0,5pt 4) Déterminer les parties réelle et imaginaire de \( z^{\prime} \) 0,5pt 5) Résoudre dans \( \mathbb{C} \), l'équation \( (E) \). \( 1 p t \) 0,75pt

¿Qué es un cuantificador en lógica matemática? a) Un número que representa una cantidad fija b) Un simbolo que indica cuántos elementos de un conjunto cumplen una propiedad c) Un tipo de operacion matemática d) Una variable algebraica

Soit A une matrice carrée d'ordre \( N \) inversible, \( b, c, f \in \mathbb{R}^{N} \). Soient \( \alpha, \gamma \in \mathbb{R} \). On cherche à résoudre le système suivant avec \( x \in \mathbb{R}^{N}, \lambda \in \mathbb{R} \) \[ \left\{\begin{array}{l}A x+b \lambda=f \\ c x+\alpha \lambda=\gamma\end{array}\right. \] 1) Ecrire le système ci-dessus sous la forme :My=g, avec \( M \) matrice carrée \( N+1, y \in \mathbb{R}^{N+1}, g \in \mathbb{R}^{N+1} \) Donner l'expression de \( M, y \) et \( g \) 2) Donner une relation entre A,b,c et \( \alpha \) qui soit une condition nécessaire et sL pour que le système ci-dessus soit inversible. Dans toute la suite on supposera, que cette relation est vérifiée.