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Home Question Bank Math Calculus Archive 2024 December 20

Calculus Questions from Dec 20,2024

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Hallar las trayectorias ortogonales de la familia de parábolas con eje de simetría vertical que pasan por el vértice \( (-4,3) \). a. Escriba la ecuación de la familia de cruvas \( F(x, y, u)=0 \) ( \( u \) es la constante que genera la familia de cruvas). b. Escriba la ecuación diferencial de la familia de curvas, \( \frac{d y}{d x}=f(x, y) \) c. Escriba la EDO que representa la pendiente ortogonal de la familia de curvas dada \( \frac{d y}{d x}=g(x, y) \). d. Escriba la ecuación que representa la trayectoria ortogonal \( G(x, y, v)=0 \) (coloque \( v \) como la constante de integración obtenida al resolver la EDO) - Encontrar el área de la integral definida: \( \int_{0}^{4}\left(3 x^{2}+1\right) d x \) Al aplicar la Teorema Fundamental del Cálculo, si \( F(x) = \int_{0}^{x} (3t^2 - 4) dt \), determina \( F'(2) \). EXERCICE 2. Soit l'équation différentielle : \( (E):\left\{\begin{array}{l}y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+y=2 e^{-x}+1 \\ y(0)=1, \quad y^{\prime}(0)=0\end{array}\right. \) i. A l'aide du produit de convolution et la transformation de Laplace, déterminer la solution y de \( (E) \). ii. On pose \( y=\sum_{n=0}^{+\infty} a_{n} x^{\prime \prime} \). 1. Déterminer la relation récurrente satisfaite par les coefficients \( a_{n} \). 2. Développer, en série entière ; \( y \) trouvé en i en précisant son rayon et intervalle de convergence. 3. En déduire les coefficients \( a_{n} \). EXERCICE 2. Soit l'équation différentielle : \( (E):\left\{\begin{array}{l}y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+y=2 e^{-x}+1 \\ y(0)=1, \quad y^{\prime}(0)=0\end{array}\right. \) i. A l'aide du produit de convolution et la transformation de Laplace, déterminer la solution y de \( (E) \). ii. On pose \( y=\sum_{n=0}^{+\infty} a_{n} x^{\prime \prime} \). 1. Déterminer la relation récurrente satisfaite par les coefficients \( a_{n} \). 2. Développer, en série entière ; \( y \) trouvé en i en précisant son rayon et intervalle de convergence. 3. En déduire les coefficients \( a_{n} \). Seleccione la forma general de la solución PARIICULAR para la ecuación diferencial lineal no homogénea: \( y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+3 y=(1-x)^{2} \) \( I = \int \sin ^ { \mu } x \cos ^ { \gamma } x d x \) \( I = \int \frac { x d x } { ( x + r ) ^ { r } ( x - 1 ) } \) EXERCICE 1. Soit la série numérique \( \left(\left(u_{n}\right),\left(s_{n}\right)\right) \) donnée par : \( u_{n}=\frac{n^{2}}{4^{n}}, s_{n}=\sum_{k=0}^{n} u_{k} \). Calculer la somme \( \mathrm{s}=\sum_{n=0}^{+\infty} u_{n}=\lim _{n \rightarrow+\infty} s_{n} \) de cette série. Question 2 (8 points) Find the interval of convergence of the power series \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n} 3^{n}}{\sqrt{n}} x^{n} \]
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