Seleccione la forma general de la solución PARIICULAR para la ecuación diferencial lineal no homogénea: $$ y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+3 y=(1-x)^{2} $$

Question

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Para encontrar la solución particular de la ecuación diferencial lineal no homogénea

$$
y^{\prime \prime} - 2y^{\prime} + 3y = (1-x)^{2},
$$

seguiremos los siguientes pasos:

1. **Identificar la forma del lado derecho**: El lado derecho de la ecuación es $$(1-x)^{2}$$, que es un polinomio de segundo grado. Por lo tanto, la forma general de la solución particular $$y_p$$ será un polinomio de segundo grado.

2. **Proponer una forma para $$y_p$$**: Dado que el lado derecho es un polinomio de segundo grado, proponemos la siguiente forma para la solución particular:

$$
y_p = Ax^2 + Bx + C,
$$

donde $$A$$, $$B$$ y $$C$$ son constantes que debemos determinar.

3. **Calcular las derivadas**: Necesitamos calcular $$y_p'$$ y $$y_p''$$:

$$
y_p' = 2Ax + B,
$$
$$
y_p'' = 2A.
$$

4. **Sustituir en la ecuación original**: Sustituimos $$y_p$$, $$y_p'$$ y $$y_p''$$ en la ecuación diferencial:

$$
2A - 2(2Ax + B) + 3(Ax^2 + Bx + C) = (1-x)^{2}.
$$

5. **Simplificar la ecuación**: Simplificamos el lado izquierdo:

$$
2A - 4Ax - 2B + 3Ax^2 + 3Bx + 3C = (1-x)^{2}.
$$

6. **Expandir el lado derecho**: Expandimos el lado derecho:

$$
(1-x)^{2} = 1 - 2x + x^2.
$$

7. **Igualar coeficientes**: Ahora igualamos los coeficientes de ambos lados de la ecuación:

- Para $$x^2$$: $$3A = 1$$
- Para $$x$$: $$-4A + 3B = -2$$
- Para la constante: $$2A - 2B + 3C = 1$$

Ahora resolveremos el sistema de ecuaciones para encontrar $$A$$, $$B$$ y $$C$$.

Primero, resolvemos $$3A = 1$$:

$$
A = \frac{1}{3}.
$$

Sustituyendo $$A$$ en la segunda ecuación:

$$
-4\left(\frac{1}{3}\right) + 3B = -2 \implies -\frac{4}{3} + 3B = -2 \implies 3B = -2 + \frac{4}{3} = -\frac{6}{3} + \frac{4}{3} = -\frac{2}{3} \implies B = -\frac{2}{9}.
$$

Ahora sustituimos $$A$$ y $$B$$ en la tercera ecuación:

$$
2\left(\frac{1}{3}\right) - 2\left(-\frac{2}{9}\right) + 3C = 1 \implies \frac{2}{3} + \frac{4}{9} + 3C = 1.
$$

Convertimos $$\frac{2}{3}$$ a novenos:

$$
\frac{2}{3} = \frac{6}{9} \implies \frac{6}{9} + \frac{4}{9} + 3C = 1 \implies \frac{10}{9} + 3C = 1 \implies 3C = 1 - \frac{10}{9} = -\frac{1}{9} \implies C = -\frac{1}{27}.
$$

8. **Conclusión**: La solución particular es:

$$
y_p = \frac{1}{3}x^2 - \frac{2}{9}x - \frac{1}{27}.
$$

Esta es la forma general de la solución particular para la ecuación diferencial dada.
La solución particular es $$ y_p = \frac{1}{3}x^2 - \frac{2}{9}x - \frac{1}{27} $$.

Seleccione la forma general de la solución PARIICULAR para la ecuación diferencial lineal no homogénea: \( y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+3 y=(1-x)^{2} \)

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