Question
14. Utilizzando solo i primi due termini dell'espansione in serie di Taylor della funzione \( \cos x \) determinare il valore di \( \cos (0.1) \). \( A=0.98 \) \( \mathrm{~B}=1.98 \) \( \mathrm{C}=0.995 \) \( \mathrm{D}=0.96 \)
Ask by Gough Williams. in Italy
Jan 23,2025
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Answer
Il valore di \( \cos(0.1) \) è approssimativamente **0.995**.
Solution
Per determinare il valore di \( \cos(0.1) \) utilizzando solo i primi due termini dell'espansione in serie di Taylor della funzione \( \cos x \), procediamo come segue:
L'espansione in serie di Taylor di \( \cos x \) attorno a \( x = 0 \) è:
\[
\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots
\]
Utilizzando solo i primi due termini:
\[
\cos x \approx 1 - \frac{x^2}{2}
\]
Sostituendo \( x = 0.1 \):
\[
\cos(0.1) \approx 1 - \frac{(0.1)^2}{2} = 1 - \frac{0.01}{2} = 1 - 0.005 = 0.995
\]
Quindi, la risposta corretta è:
**C) 0.995**
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L'espansione in serie di Taylor della funzione \( \cos x \) attorno a \( x = 0 \) è data da \( \cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} - \cdots \). Utilizzando solo i primi due termini, otteniamo \( \cos x \approx 1 - \frac{x^2}{2} \). Sostituendo \( x = 0.1 \), calcoliamo \( \cos(0.1) \approx 1 - \frac{(0.1)^2}{2} = 1 - 0.005 = 0.995 \). Pertanto, il valore approssimato di \( \cos(0.1) \) utilizzando i primi due termini è \( 0.995 \), che corrisponde all'opzione C! È un ottimo esempio di come la serie di Taylor possa semplificare il calcolo delle funzioni trigonometriche.
