El volumen del solido de revolución generado por el giro de la región limitada por
alrededor del eje es:

Ask by Daniel Wheeler. in Colombia

Jan 23,2025

Question

El volumen del solido de revolución generado por el giro de la región limitada por $$ y=x^{2}+5 y y=x+5 $$ alrededor del eje $$ X $$ es:

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Para determinar el volumen del sólido de revolución generado al girar la región limitada por las curvas $$ y = x^2 + 5 $$ y $$ y = x + 5 $$ alrededor del eje $$ X $$, seguiremos estos pasos:

### 1. **Encontrar los puntos de intersección:**

Igualamos las dos funciones para hallar los límites de integración:

$$
x^2 + 5 = x + 5 \
x^2 = x \
x(x - 1) = 0 \
\Rightarrow x = 0 \quad \text{y} \quad x = 1
$$

### 2. **Determinar la función exterior e interior:**

Para $$ x $$ en el intervalo $$[0, 1]$$:

- $$ y = x + 5 $$ es mayor que $$ y = x^2 + 5 $$ (por ejemplo, en $$ x = 0.5 $$, $$ 5.5 > 5.25 $$).

Por lo tanto:

- **Radio exterior** $$ R(x) = x + 5 $$
- **Radio interior** $$ r(x) = x^2 + 5 $$

### 3. **Aplicar el método de los discos/aros (método de los discos):**

El volumen $$ V $$ se calcula mediante la integral:

$$
V = \pi \int_{0}^{1} \left[ R(x)^2 - r(x)^2 \right] dx
$$

Sustituyendo $$ R(x) $$ y $$ r(x) $$:

$$
V = \pi \int_{0}^{1} \left[ (x + 5)^2 - (x^2 + 5)^2 \right] dx
$$

### 4. **Expandir y simplificar la expresión:**

$$
(x + 5)^2 = x^2 + 10x + 25 \
(x^2 + 5)^2 = x^4 + 10x^2 + 25 \
\Rightarrow (x + 5)^2 - (x^2 + 5)^2 = -x^4 - 9x^2 + 10x
$$

### 5. **Integrar término por término:**

$$
V = \pi \int_{0}^{1} \left( -x^4 - 9x^2 + 10x \right) dx \
= \pi \left[ -\frac{x^5}{5} - 3x^3 + 5x^2 \right]_{0}^{1}
$$

Evaluando en los límites:

$$
V = \pi \left( -\frac{1}{5} - 3(1) + 5(1) \right) = \pi \left( -\frac{1}{5} + 2 \right) = \pi \left( \frac{9}{5} \right) = \frac{9\pi}{5}
$$

### **Conclusión:**

El volumen del sólido de revolución es:

$$
V = \frac{9\pi}{5} \, \text{unidades cúbicas}
$$
El volumen del sólido de revolución es $$ \frac{9\pi}{5} $$ unidades cúbicas.

El volumen del solido de revolución generado por el giro de la región limitada por
alrededor del eje es:

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