Sea \( S \) el solido cuya base es el disco centrado en el origen de radio 2 y sus secciones transversales perpendiculares al eje \( X \) son triángulos rectángulos con un cateto sobre su base. El volumen de \( S \) es:

Para calcular el volumen del sólido \( S \), primero determinamos la base del disco en el plano \( XY \), que está dado por la ecuación \( x^2 + y^2 \leq 4 \). Luego, tomamos un corte perpendicular al eje \( X \) en una posición \( x \) entre \(-2\) y \(2\). En este punto, el radio del disco es \( y = \sqrt{4 - x^2} \). Dado que las secciones transversales son triángulos rectángulos con un cateto en el eje \( Y \) (que tiene longitud \( 2y \)), el área de la sección transversal es: \[ A(x) = \frac{1}{2} \cdot (2y) \cdot y = \frac{1}{2} \cdot 2y^2 = y^2. \] Esto se traduce en: \[ A(x) = 4 - x^2. \] Por lo tanto, el volumen \( V \) del sólido se calcula integrando el área de las secciones transversales a lo largo del eje \( X \): \[ V = \int_{-2}^{2} A(x) \, dx = \int_{-2}^{2} (4 - x^2) \, dx. \] El cálculo de esta integral resulta en: \[ V = \left[ 4x - \frac{x^3}{3} \right]_{-2}^{2} = \left( 4(2) - \frac{(2)^3}{3} \right) - \left( 4(-2) - \frac{(-2)^3}{3} \right) = \left(8 - \frac{8}{3}\right) - \left(-8 + \frac{8}{3}\right). \] Resolviendo: \[ = (8 - \frac{8}{3}) + (8 - \frac{8}{3}) = 16 - \frac{16}{3} = \frac{48 - 16}{3} = \frac{32}{3}. \] Finalmente, el volumen del sólido \( S \) es: \[ V = \frac{32}{3}. \]