Recopier, compléter et terminer les développements : a. $$ \left(x-\frac{1}{2} ight)^{2}= $$ $$ \qquad $$ Factorisation exercices 33 a. $$ 9 x+27=9( $$ Recopier et compléter : b. $$ \left(\frac{3}{5} x+\frac{7}{3} ight)^{2}=(\ldots \ldots)^{2}+2 imes(\ldots \ldots) imes \ldots \ldots+(\ldots \ldots)^{2} $$ $$ = $$ $$ \qquad $$ c. $$ \left(\frac{4}{5} x-\frac{1}{6} ight)\left(\frac{4}{5} x+\frac{1}{6} ight)=(\ldots \ldots)^{2}-(\ldots \ldots)^{2}= $$ $$ \qquad $$ 27 Développer: a. $$ (7 x-11)^{2} $$; b. $$ (5 x+4)^{2} $$; c. $$ (5 x-8)(5 x+8) $$. 28 Même exercice que le précédent avec : a. $$ (0,3 x-0,9)(0,3 x+0,9) $$; b. $$ \left(\frac{12}{7} x-\frac{5}{3} ight)^{2} $$; c. $$ \left(\frac{3}{8} x+\frac{4}{3} ight)^{2} $$. 29 $$ \qquad $$ parfoss des erreurs lorsqu'il développe les identites remarquables. Rectifiez-les ! a. $$ (5 x+3)^{2}=25 x^{2}+60 x+6 $$; b. $$ (8 x-1)^{2}=8 x^{2}-16 x+1 $$; c. $$ (6 x+5)(6 x-5)=36 x^{2}+25 $$. 34 Même exercice que le précédent avec : a. $$ 5 x^{2}+4 x=x(\ldots) $$; b. $$ -4 x+2=-2(\ldots \ldots) $$; c. $$ -x+5=-1(\ldots \ldots) $$; d. $$ 5-3 x=(\ldots \ldots) imes(3 x-5) $$; e. $$ \sqrt{3} x-\sqrt{6}=\sqrt{3}(\ldots \ldots) $$. 35 1. Recopier les expressions suivantes, puis écrire l'identité remarquable correspondante et préciser $$ l a $$ valeur de $$ a $$ et de $$ b $$ : a. $$ 81 x^{2}+2 imes \ldots \ldots imes \ldots+1=(\ldots+\ldots)^{2}: $$ 2. Compléter alors ces expressions. 36 Recopier et compléter : a. $$ 9 x^{2}+2 x $$ $$ \qquad $$ $$ imes $$ $$ \qquad $$ $$ +\ldots \ldots 2^{2}=(\ldots \ldots+7)^{2} ; $$ b. $$ 49 x^{2}-2 x $$ $$ \qquad $$ $$ imes \ldots \ldots+ $$ $$ +\ldots .^{2} $$ $$ 2^{2}=(\ldots \ldots-9)^{2} $$; c. $$ 9 x^{2}-64=(\ldots \ldots+8)(3 x-\ldots \ldots) $$. 57 Même exercice que le précédent avec: a. $$ \frac{25}{49} x^{2}+2 imes \ldots \ldots imes \ldots \ldots+(\ldots \ldots)^{2}=\left(\ldots \ldots+\frac{1}{3} ight)^{2} $$ b. $$ \frac{9}{16} x^{2} \ldots \ldots .2 imes \ldots \ldots . . imes \ldots .+(\ldots \ldots)^{2}=\left(\ldots \ldots . \frac{4}{3} ight)^{2} $$; c. $$ 0,16 x^{2}-0,25=(\ldots \ldots+0,5)(0,4 x-\ldots \ldots) $$. 36 Même exercice que le précédent avec: a. $$ \frac{36}{49} x^{2}+2 imes \ldots \ldots \ldots+\frac{25}{169}=(\ldots \ldots+\ldots \ldots)^{2} $$; b. $$ \frac{121}{64} x^{2}-2 imes \ldots \ldots . \ldots \ldots+\frac{16}{9}=(\ldots \ldots-\ldots \ldots)^{2} $$; c. $$ \frac{25}{144} x^{2}-0,01=(\ldots \ldots+\ldots \ldots)(\ldots \ldots-\ldots \ldots) $$.

Question

Recopier, compléter et terminer les développements : a. $$ \left(x-\frac{1}{2}ight)^{2}= $$ $$ \qquad $$ Factorisation exercices 33 a. $$ 9 x+27=9( $$ Recopier et compléter : b. $$ \left(\frac{3}{5} x+\frac{7}{3}ight)^{2}=(\ldots \ldots)^{2}+2 	imes(\ldots \ldots) 	imes \ldots \ldots+(\ldots \ldots)^{2} $$ $$ = $$ $$ \qquad $$ c. $$ \left(\frac{4}{5} x-\frac{1}{6}ight)\left(\frac{4}{5} x+\frac{1}{6}ight)=(\ldots \ldots)^{2}-(\ldots \ldots)^{2}= $$ $$ \qquad $$ 27 Développer: a. $$ (7 x-11)^{2} $$; b. $$ (5 x+4)^{2} $$; c. $$ (5 x-8)(5 x+8) $$. 28 Même exercice que le précédent avec : a. $$ (0,3 x-0,9)(0,3 x+0,9) $$; b. $$ \left(\frac{12}{7} x-\frac{5}{3}ight)^{2} $$; c. $$ \left(\frac{3}{8} x+\frac{4}{3}ight)^{2} $$. 29 $$ \qquad $$ parfoss des erreurs lorsqu'il développe les identites remarquables. Rectifiez-les ! a. $$ (5 x+3)^{2}=25 x^{2}+60 x+6 $$; b. $$ (8 x-1)^{2}=8 x^{2}-16 x+1 $$; c. $$ (6 x+5)(6 x-5)=36 x^{2}+25 $$. 34 Même exercice que le précédent avec : a. $$ 5 x^{2}+4 x=x(\ldots) $$; b. $$ -4 x+2=-2(\ldots \ldots) $$; c. $$ -x+5=-1(\ldots \ldots) $$; d. $$ 5-3 x=(\ldots \ldots) 	imes(3 x-5) $$; e. $$ \sqrt{3} x-\sqrt{6}=\sqrt{3}(\ldots \ldots) $$. 35 1. Recopier les expressions suivantes, puis écrire l'identité remarquable correspondante et préciser $$ l a $$ valeur de $$ a $$ et de $$ b $$ : a. $$ 81 x^{2}+2 	imes \ldots \ldots 	imes \ldots+1=(\ldots+\ldots)^{2}: $$ 2. Compléter alors ces expressions. 36 Recopier et compléter : a. $$ 9 x^{2}+2 x $$ $$ \qquad $$ $$ 	imes $$ $$ \qquad $$ $$ +\ldots \ldots 2^{2}=(\ldots \ldots+7)^{2} ; $$ b. $$ 49 x^{2}-2 x $$ $$ \qquad $$ $$ 	imes \ldots \ldots+ $$ $$ +\ldots .^{2} $$ $$ 2^{2}=(\ldots \ldots-9)^{2} $$; c. $$ 9 x^{2}-64=(\ldots \ldots+8)(3 x-\ldots \ldots) $$. 57 Même exercice que le précédent avec: a. $$ \frac{25}{49} x^{2}+2 	imes \ldots \ldots 	imes \ldots \ldots+(\ldots \ldots)^{2}=\left(\ldots \ldots+\frac{1}{3}ight)^{2} $$ b. $$ \frac{9}{16} x^{2} \ldots \ldots .2 	imes \ldots \ldots . . 	imes \ldots .+(\ldots \ldots)^{2}=\left(\ldots \ldots . \frac{4}{3}ight)^{2} $$; c. $$ 0,16 x^{2}-0,25=(\ldots \ldots+0,5)(0,4 x-\ldots \ldots) $$. 36 Même exercice que le précédent avec: a. $$ \frac{36}{49} x^{2}+2 	imes \ldots \ldots \ldots+\frac{25}{169}=(\ldots \ldots+\ldots \ldots)^{2} $$; b. $$ \frac{121}{64} x^{2}-2 	imes \ldots \ldots . \ldots \ldots+\frac{16}{9}=(\ldots \ldots-\ldots \ldots)^{2} $$; c. $$ \frac{25}{144} x^{2}-0,01=(\ldots \ldots+\ldots \ldots)(\ldots \ldots-\ldots \ldots) $$.

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Voici les solutions aux exercices demandés :

### Développements et Factorisations

#### a. $$ \left(x-\frac{1}{2}\right)^{2} $$
Pour développer cette expression, nous utilisons la formule de l'identité remarquable : 
$$
(a-b)^{2} = a^{2} - 2ab + b^{2}
$$
Ici, $$ a = x $$ et $$ b = \frac{1}{2} $$.

Calculons :
$$
\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2} = x^{2} - 2 \cdot x \cdot \frac{1}{2} + \left(\frac{1}{2}\right)^{2} = x^{2} - x + \frac{1}{4}
$$

#### b. $$ 9 x + 27 = 9( \ldots ) $$
On peut factoriser $$ 9x + 27 $$ en mettant $$ 9 $$ en facteur :
$$
9x + 27 = 9(x + 3)
$$

#### c. $$ \left(\frac{3}{5} x+\frac{7}{3}\right)^{2} $$
Utilisons l'identité remarquable :
$$
(a+b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}
$$
Ici, $$ a = \frac{3}{5}x $$ et $$ b = \frac{7}{3} $$.

Calculons :
$$
\left(\frac{3}{5} x+\frac{7}{3}\right)^{2} = \left(\frac{3}{5} x\right)^{2} + 2 \cdot \frac{3}{5} x \cdot \frac{7}{3} + \left(\frac{7}{3}\right)^{2}
$$
$$
= \frac{9}{25} x^{2} + 2 \cdot \frac{3 \cdot 7}{5 \cdot 3} x + \frac{49}{9} = \frac{9}{25} x^{2} + \frac{42}{25} x + \frac{49}{9}
$$

#### d. $$ \left(\frac{4}{5} x-\frac{1}{6}\right)\left(\frac{4}{5} x+\frac{1}{6}\right) $$
Ceci est une différence de carrés :
$$
(a-b)(a+b) = a^{2} - b^{2}
$$
Ici, $$ a = \frac{4}{5}x $$ et $$ b = \frac{1}{6} $$.

Calculons :
$$
\left(\frac{4}{5} x-\frac{1}{6}\right)\left(\frac{4}{5} x+\frac{1}{6}\right) = \left(\frac{4}{5} x\right)^{2} - \left(\frac{1}{6}\right)^{2}
$$
$$
= \frac{16}{25} x^{2} - \frac{1}{36}
$$

### Développement des expressions

#### 27 a. $$ (7 x-11)^{2} $$
$$
(7x-11)^{2} = 49x^{2} - 154x + 121
$$

#### 27 b. $$ (5 x+4)^{2} $$
$$
(5x+4)^{2} = 25x^{2} + 40x + 16
$$

#### 27 c. $$ (5 x-8)(5 x+8) $$
$$
(5x-8)(5x+8) = (5x)^{2} - (8)^{2} = 25x^{2} - 64
$$

### Correction des erreurs

#### 29 a. $$ (5 x+3)^{2} $$
Correction : 
$$
(5x+3)^{2} = 25x^{2} + 30x + 9
$$

#### 29 b. $$ (8 x-1)^{2} $$
Correction : 
$$
(8x-1)^{2} = 64x^{2} - 16x + 1
$$

#### 29 c. $$ (6 x+5)(6 x-5) $$
Correction : 
$$
(6x+5)(6x-5) = 36x^{2} - 25
$$

### Factorisation

#### 34 a. $$ 5 x^{2}+4 x=x(\ldots) $$
$$
5x^{2}+4x = x(5x + 4)
$$

#### 34 b. $$ -4 x+2=-2(\ldots \ldots) $$
$$
-4x + 2 = -2(2x - 1)
$$

#### 34 c. $$ -x+5=-1(\ldots \ldots) $$
$$
-x + 5 = -1(-x + 5)
$$

#### 34 d. $$ 5-3 x=(\ldots \ldots) \times(3 x-5) $$
$$
5 - 3x = -1(3x - 5)
$$

#### 34 e. $$ \sqrt{3} x-\sqrt{6}=\sqrt{3}(\ldots \ldots) $$
$$
\sqrt{3}x - \sqrt{6} = \sqrt{3}(x - \sqrt{2})
$$

### Identités remarquables

#### 35 a. $$ 81 x^{2}+2 \times \ldots \ldots \times \ldots+1=(\ldots+\ldots)^{2} $$
Identité : 
$$
81x^{2} + 18x + 1 = (9x + 1)^{2}
$$

#### 36 a. $$ 9 x^{2}+2 x $$
$$
9x^{2} + 2x + 1 = (3x + 1)^{2}
$$

#### 36 b. $$ 49 x^{2}-2 x $$
$$
49x^{2} - 14x + 1 = (7x - 1)^{2}
$$

#### 36 c. $$ 9 x^{2}-64 $$
$$
9x^{2} - 64 = (3x - 8)(3x + 8)
$$

### Exercice avec fractions

#### 57 a. $$ \frac{25}{49} x^{2}+2 \times \ldots \ldots $$
\[
\frac{25}{49}x^{2} + 2 \cdot \frac{5}{7}x \cdot \frac{1}{3}
Voici les simplifications des développements et factorisations demandés : ### Développements 1. $$ \left(x - \frac{1}{2}\right)^2 = x^2 - x + \frac{1}{4} $$ 2. $$ 9x + 27 = 9(x + 3) $$ 3. $$ \left(\frac{3}{5}x + \frac{7}{3}\right)^2 = \frac{9}{25}x^2 + \frac{42}{25}x + \frac{49}{9} $$ 4. $$ \left(\frac{4}{5}x - \frac{1}{6}\right)\left(\frac{4}{5}x + \frac{1}{6}\right) = \frac{16}{25}x^2 - \frac{1}{36} $$ ### Développement des Expressions 1. $$ (7x - 11)^2 = 49x^2 - 154x + 121 $$ 2. $$ (5x + 4)^2 = 25x^2 + 40x + 16 $$ 3. $$ (5x - 8)(5x + 8) = 25x^2 - 64 $$ ### Correction des Erreurs 1. $$ (5x + 3)^2 = 25x^2 + 30x + 9 $$ 2. $$ (8x - 1)^2 = 64x^2 - 16x + 1 $$ 3. $$ (6x + 5)(6x - 5) = 36x^2 - 25 $$ ### Factorisations 1. $$ 5x^2 + 4x = x(5x + 4) $$ 2. $$ -4x + 2 = -2(2x - 1) $$ 3. $$ -x + 5 = -1(-x + 5) $$ 4. $$ 5 - 3x = -1(3x - 5) $$ 5. $$ \sqrt{3}x - \sqrt{6} = \sqrt{3}(x - \sqrt{2}) $$ ### Identités Remarquables 1. $$ 81x^2 + 18x + 1 = (9x + 1)^2 $$ 2. $$ 9x^2 + 2x + 1 = (3x + 1)^2 $$ 3. $$ 49x^2 - 14x + 1 = (7x - 1)^2 $$ 4. $$ 9x^2 - 64 = (3x - 8)(3x + 8) $$ ### Exercice avec Fractions 1. $$ \frac{25}{49}x^2 + 2 \times \frac{5}{7}x \times \frac{1}{3} = \left(\frac{5}{7}x + \frac{1}{3}\right)^2 $$ **Remarque :** Les simplifications ont été réalisées en utilisant les identités remarquables et en effectuant les calculs nécessaires pour chaque expression.

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