В равнобедренном треугольнике \( A B C \) проведена биссектриса \( B K \). Найди \( A K \), если \( A B=A C=12, B C=4 \).

Чтобы найти длину отрезка \( A K \), воспользуемся свойством биссектрисы. По теореме о биссектрисе в треугольнике, отношение отрезков, на которые биссектрисой делится противоположная сторона \( C K \) и \( K B \), равно отношению прилежащих к ним сторон. В нашем случае это будет: \[ \frac{C K}{K B} = \frac{A C}{A B} = \frac{12}{12} = 1. \] Это означает, что \( C K = K B \). Обозначим \( C K = K B = x \). Таким образом, мы можем записать уравнение для \( B C \): \[ K B + C K = B C \Rightarrow x + x = 4 \Rightarrow 2x = 4 \Rightarrow x = 2. \] Теперь имеем \( C K = 2 \) и \( K B = 2 \). Теперь будем использовать теорему о биссектрисе для нахождения \( A K \). В треугольнике \( A B K \) можем использовать закон косинусов, чтобы найти \( A K \). Для этого сначала найдем \( A K \), используя формулу: \[ A K = A B \cdot \frac{C K}{A B} = 12 \cdot \frac{2}{12} = 2. \] Итак, отрезок \( A K \) равен 2.