حجم جسمی که با دوران دادن ناحیه زیر منحنی $$ y = \frac{1}{x} $$ از $$ x=1 $$ تا $$ x=3 $$ حول محور y ایجاد می‌شود را بیابید.

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

برای محاسبه حجم جسمی که با دوران دادن ناحیه زیر منحنی $$ y = \frac{1}{x} $$ از $$ x=1 $$ تا $$ x=3 $$ حول محور $$ y $$ ایجاد می‌شود، از روش دیسک (یا حلقه) استفاده می‌کنیم. فرمول حجم $$ V $$ به صورت زیر است:

$$
V = \pi \int_{a}^{b} r^2 \, dy
$$

در اینجا، $$ r $$ شعاع است که برابر با $$ x $$ است و باید به صورت تابعی از $$ y $$ بیان شود. از معادله $$ y = \frac{1}{x} $$ می‌توانیم $$ x $$ را به صورت تابعی از $$ y $$ بیان کنیم:

$$
x = \frac{1}{y}
$$

حالا باید محدوده $$ y $$ را پیدا کنیم. با قرار دادن $$ x=1 $$ و $$ x=3 $$:

- برای $$ x=1 $$:
$$
y = \frac{1}{1} = 1
$$

- برای $$ x=3 $$:
$$
y = \frac{1}{3}
$$

بنابراین، محدوده $$ y $$ از $$ y = \frac{1}{3} $$ تا $$ y = 1 $$ است.

حالا حجم را محاسبه می‌کنیم:

$$
V = \pi \int_{\frac{1}{3}}^{1} \left(\frac{1}{y}\right)^2 \, dy
$$

حالا این انتگرال را محاسبه می‌کنیم:

$$
V = \pi \int_{\frac{1}{3}}^{1} \frac{1}{y^2} \, dy
$$

محاسبه انتگرال:

$$
\int \frac{1}{y^2} \, dy = -\frac{1}{y}
$$

بنابراین:

$$
V = \pi \left[-\frac{1}{y}\right]_{\frac{1}{3}}^{1}
$$

حالا مقادیر را جایگذاری می‌کنیم:

$$
V = \pi \left(-\frac{1}{1} + \frac{1}{\frac{1}{3}}\right) = \pi \left(-1 + 3\right) = \pi \cdot 2
$$

در نتیجه، حجم جسم برابر است با:

$$
V = 2\pi
$$

بنابراین، حجم جسمی که با دوران دادن ناحیه زیر منحنی $$ y = \frac{1}{x} $$ از $$ x=1 $$ تا $$ x=3 $$ حول محور $$ y $$ ایجاد می‌شود، برابر با $$ 2\pi $$ است.
حجم جسمی که با دوران ناحیه زیر منحنی $$ y = \frac{1}{x} $$ از $$ x=1 $$ تا $$ x=3 $$ حول محور $$ y $$ ایجاد می‌شود، برابر است با $$ 2\pi $$.

حجم جسمی که با دوران دادن ناحیه زیر منحنی از تا حول محور y ایجاد می‌شود را بیابید.

Upstudy AI Solution

Answer

Solution

The Deep Dive

Related Questions

Latest Calculus Questions