Esercizio 3. Si consideri la seguente sfera: \[ S: x^{2}+y^{2}+z^{2}-2 x+2 y+4 z=3 \] (a) \( (4 \mathrm{pt}) \) Trovare raggio e centro della sfera \( S \). (b) \( (4 \mathrm{pt}) \) Costruire due piani paralleli tangenti alla sfera \( S \). (c) \( (4 \mathrm{pt}) \) Trovare un piano che individua sulla sfera una circonferenza di raggio massimo possibile.

Per trovare il raggio e il centro della sfera \( S \), dobbiamo prima riscrivere l'equazione nella forma standard. Possiamo completare il quadrato per \( x, y, z \): 1. Riscriviamo l'equazione: \[ S: (x^2 - 2x) + (y^2 + 2y) + (z^2 + 4z) = 3. \] 2. Completando il quadrato: - Per \( x^2 - 2x \) otteniamo \( (x - 1)^2 - 1 \). - Per \( y^2 + 2y \) otteniamo \( (y + 1)^2 - 1 \). - Per \( z^2 + 4z \) otteniamo \( (z + 2)^2 - 4 \). 3. Sostituendo i risultati nell'equazione originale: \[ (x - 1)^2 - 1 + (y + 1)^2 - 1 + (z + 2)^2 - 4 = 3. \] Diventa: \[ (x - 1)^2 + (y + 1)^2 + (z + 2)^2 = 9. \] Quindi, il centro della sfera è \( (1, -1, -2) \) e il raggio è \( 3 \). Per i piani paralleli tangenti alla sfera, possiamo considerarne due all'altezza \( z = -2 + 3 = 1 \) e \( z = -2 - 3 = -5 \). Questi piani sono paralleli al piano \( xy \) e saranno: - Piano tangente superiore: \( z = 1 \) - Piano tangente inferiore: \( z = -5 \) Infine, per trovare un piano che individua sulla sfera una circonferenza di raggio massimo, dobbiamo considerare un piano che passi attraverso il centro della sfera. Un esempio sarebbe il piano \( z = -2 \), che è esattamente il piano che passa per il centro e produce la massima circonferenza possibile. La circonferenza avrà un raggio di \( 3 \), che è il raggio della sfera stessa.