Considera l'equazione \( 2 x+2 y=2(y-1) \). Motiva le seguenti affermazioni vere: a. se \( x \) è l'incognita e \( y \) è un parametro, l'equazione è determinata; b. se \( y \) è l'incognita e \( x \) è un parametro, l'equazione è impossibile o indeterminata e non può esscre de- terminata; c. l'uguaglianza non è un'identità.

a. **Se \( x \) è l'incognita e \( y \) è un parametro, l'equazione è determinata.** Consideriamo l'equazione: \[ 2x + 2y = 2(y - 1) \] Semplifichiamo: \[ 2x + 2y = 2y - 2 \] Sottraiamo \( 2y \) da entrambi i lati: \[ 2x = -2 \] Dividiamo per 2: \[ x = -1 \] In questo caso, per ogni valore fissato di \( y \), esiste **un'unica soluzione** per \( x \), ovvero \( x = -1 \). Pertanto, l'equazione è **determinata** quando \( x \) è l'incognita e \( y \) è considerato un parametro. --- b. **Se \( y \) è l'incognita e \( x \) è un parametro, l'equazione è impossibile o indeterminata e non può essere determinata.** Riconsideriamo l'equazione originale: \[ 2x + 2y = 2(y - 1) \] Semplifichiamo come prima: \[ 2x + 2y = 2y - 2 \] Sottraiamo \( 2y \) da entrambi i lati: \[ 2x = -2 \] Dividiamo per 2: \[ x = -1 \] Quando \( y \) è l'incognita, l'equazione non dipende effettivamente da \( y \) in questo caso, poiché dopo la semplificazione otteniamo una condizione su \( x \): \[ x = -1 \] - **Se \( x \neq -1 \)**: L'equazione diventa \( 0 = -2 \), che è impossibile. Quindi, non esiste alcuna soluzione per \( y \). - **Se \( x = -1 \)**: L'equazione si riduce a \( 0 = 0 \), che è sempre vera indipendentemente dal valore di \( y \). In questo caso, l'equazione è **indeterminata** perché \( y \) può assumere qualsiasi valore. Di conseguenza, quando \( y \) è l'incognita e \( x \) è un parametro, l'equazione può essere **impossibile** o **indeterminata**, ma non è **determinata**. --- c. **L'uguaglianza non è un'identità.** Un'identità algebrica è un'uguaglianza che è vera per **tutti** i valori delle variabili coinvolte. Nell'equazione data: \[ 2x + 2y = 2(y - 1) \] Dopo la semplificazione otteniamo: \[ 2x = -2 \quad \Rightarrow \quad x = -1 \] Questa uguaglianza è vera **solo** quando \( x = -1 \), indipendentemente dal valore di \( y \). Poiché l'equazione non è vera per **tutti** i possibili valori di \( x \) e \( y \), non si tratta di un'identità, ma di un'equazione che impone una condizione specifica su \( x \).