Question
\[ \left\{\begin{array}{l}2 x-y=5 \\ -6 x+3 y=-15\end{array}\right. \] A. \( x=2, y=-1 \) B. \( x=-3, y=-11 \) C. No tiene solución. D. Tiene infinitas soluciones.
Ask by Cross Hanson. in Puerto Rico
Feb 03,2025
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Answer
El sistema tiene infinitas soluciones.
Solution
La respuesta correcta es:
**D. Tiene infinitas soluciones.**
**Explicación:**
Analicemos el sistema de ecuaciones:
\[
\begin{cases}
2x - y = 5 \quad \text{(1)} \\
-6x + 3y = -15 \quad \text{(2)}
\end{cases}
\]
Observemos que la segunda ecuación puede obtenerse multiplicando la primera ecuación por **-3**:
\[
-3 \times (2x - y) = -6x + 3y = -15
\]
Esto significa que ambas ecuaciones son esencialmente la misma, lo que indica que representan la **misma recta** en el plano cartesiano. Por lo tanto, cualquier punto que satisfaga una de las ecuaciones también satisfará la otra.
**Conclusión:** El sistema tiene **infinitas soluciones** ya que ambas ecuaciones son equivalentes.
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Simplify this solution Extra Insights
¡Vamos a resolver el sistema de ecuaciones! Primero, tomemos la primera ecuación: \(2x - y = 5\), la cual podemos despejar para encontrar \(y\). Reescribimos la ecuación como \(y = 2x - 5\). Ahora, sustituimos \(y\) en la segunda ecuación: \(-6x + 3(2x - 5) = -15\). Simplificando, obtenemos \(-6x + 6x - 15 = -15\), lo que nos deja con \(0 = 0\). Esto significa que las ecuaciones son equivalentes y representan la misma recta, por lo que el sistema tiene infinitas soluciones. Estas son las soluciones que pertenecen a todos los puntos de la recta \(y = 2x - 5\). Así que la opción correcta es D. ¡Sigue explorando sistemas de ecuaciones, es como encontrar tesoros matemáticos!
