La retta di equazione x+y+4=0 interseca la circonferenza x^{2}+y^{2}+6 x-4 y+4=0 nei punti A e B. Calcola la misura della corda AB. [3 sqrt{2}]

Per determinare la misura della corda \( AB \) determinata dall'intersezione della retta \( x + y + 4 = 0 \) con la circonferenza \( x^{2} + y^{2} + 6x - 4y + 4 = 0 \), seguiamo i seguenti passaggi: 1. **Determinazione delle coordinate dei punti di intersezione \( A \) e \( B \):** Dalla retta \( x + y + 4 = 0 \), esprimiamo \( y \) in funzione di \( x \): \[ y = -x - 4 \] Sostituiamo questa espressione nell'equazione della circonferenza: \[ x^{2} + (-x - 4)^{2} + 6x - 4(-x - 4) + 4 = 0 \] Sviluppando: \[ x^{2} + (x^{2} + 8x + 16) + 6x + 4x + 16 + 4 = 0 \] \[ 2x^{2} + 18x + 36 = 0 \] Dividiamo per 2: \[ x^{2} + 9x + 18 = 0 \] Risolviamo l'equazione di secondo grado: \[ x = \frac{-9 \pm \sqrt{81 - 72}}{2} = \frac{-9 \pm 3}{2} \] Otteniamo due soluzioni: \[ x_{1} = \frac{-9 + 3}{2} = -3 \quad \text{e} \quad x_{2} = \frac{-9 - 3}{2} = -6 \] Calcoliamo i corrispondenti valori di \( y \): \[ \text{Per } x = -3: \quad y = -(-3) - 4 = 3 - 4 = -1 \quad \Rightarrow A(-3, -1) \] \[ \text{Per } x = -6: \quad y = -(-6) - 4 = 6 - 4 = 2 \quad \Rightarrow B(-6, 2) \] 2. **Calcolo della distanza \( AB \):** Utilizziamo la formula della distanza tra due punti: \[ AB = \sqrt{(x_{B} - x_{A})^{2} + (y_{B} - y_{A})^{2}} = \sqrt{(-6 - (-3))^{2} + (2 - (-1))^{2}} = \sqrt{(-3)^{2} + 3^{2}} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \] Quindi, la misura della corda \( AB \) è: \[ AB = 3\sqrt{2} \]