Matemáticas Evalúa y calcula los siguientes limites: d. \( \lim _{x \rightarrow \infty} \sqrt{x^{2}-2 x}+x \) e. \( \lim _{x \rightarrow \infty} x-\sqrt{x^{2}+x} \) f. \( \lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{\sqrt{x^{2}-4}}{x-2} \)

Para el primer límite, \( \lim _{x \rightarrow \infty} \sqrt{x^{2}-2 x}+x \), podemos simplificar el término dentro de la raíz. Factoremos \( x^2 \): \( \sqrt{x^2(1 - \frac{2}{x})} + x \). A medida que \( x \) tiende a infinito, esto se aproxima a \( x(\sqrt{1 - 0}) + x = 2x \). Así que el límite es \( \infty \). Para el segundo límite, \( \lim _{x \rightarrow \infty} x-\sqrt{x^{2}+x} \), nuevamente factorizamos: \( x - \sqrt{x^2(1 + \frac{1}{x})} \). Esto es \( x - x\sqrt{1 + \frac{1}{x}} = x(1 - \sqrt{1 + 0}) \), que tiende a \( x(1-1) = 0 \). Por lo tanto, el límite es 0. Finalmente, para el tercer límite, \( \lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{\sqrt{x^{2}-4}}{x-2} \), cuando \( x \) tiende a \( -\infty \), podemos usar la misma factorización: \( \sqrt{x^2(1 - \frac{4}{x^2})} \) da \( -x\sqrt{1 - 0} \) ya que estamos en el límite negativo. Así, el límite se convierte en \( \frac{-x}{x - 2} \). Esto se simplifica a \( \frac{-1}{1 - \frac{2}{x}} \), que tiende a \( -1 \) cuando \( x \) tiende a \( -\infty \).