Esercizio 4. Si consideri la curva algebrica \[ \mathscr{C}: x y\left(x^{2}+y^{2}\right)+x^{2}-y^{2}=0 \] (a) Scrivere l'equazione della chiusura proiettiva di \( \mathscr{C} \) (b) Calcoalre i punti singolari di \( \mathscr{C} \).

### Soluzione dell'Esercizio 4 Consideriamo la curva algebrica data in forma affine: \[ \mathscr{C}: x y\left(x^{2}+y^{2}\right) + x^{2} - y^{2} = 0 \] #### (a) Equazione della chiusura proiettiva di \( \mathscr{C} \) Per determinare la chiusura proiettiva della curva \(\mathscr{C}\), dobbiamo omogeneizzare l'equazione data introducendo le coordinate omogenee \([X:Y:Z]\). L'obiettivo è rendere omogenea ogni monomio dell'equazione affinché tutti abbiano lo stesso grado. 1. **Determinazione del grado dell'equazione affine:** L'espressione \(x y(x^{2} + y^{2})\) ha grado 4, mentre \(x^{2}\) e \(-y^{2}\) hanno grado 2. Quindi, il grado massimo è \(d = 4\). 2. **Omoogenizzazione dei termini:** Sostituiamo \(x\) con \(X/Z\) e \(y\) con \(Y/Z\), moltiplicando ogni termine per \(Z^{4-d}\) (in questo caso \(Z^{0} = 1\)). \[ x y(x^{2} + y^{2}) + x^{2} - y^{2} = 0 \quad \Rightarrow \quad XY(X^{2} + Y^{2}) + X^{2}Z^{2} - Y^{2}Z^{2} = 0 \] 3. **Equazione della chiusura proiettiva:** \[ \mathscr{C}^*: XY(X^{2} + Y^{2}) + X^{2}Z^{2} - Y^{2}Z^{2} = 0 \] #### (b) Punti singolari di \( \mathscr{C} \) I punti singolari della curva \(\mathscr{C}\) si ottengono risolvendo il sistema formato dall'equazione della curva e dalle sue derivate parziali prime uguali a zero. 1. **Calcolo delle derivate parziali:** \[ F(X,Y,Z) = XY(X^{2} + Y^{2}) + X^{2}Z^{2} - Y^{2}Z^{2} \] - Derivata rispetto a \(X\): \[ F_X = Y(3X^{2} + Y^{2}) + 2XZ^{2} \] - Derivata rispetto a \(Y\): \[ F_Y = X(X^{2} + 3Y^{2}) - 2YZ^{2} \] - Derivata rispetto a \(Z\): \[ F_Z = 2Z(X^{2} - Y^{2}) \] 2. **Ricerca dei punti singolari:** I punti singolari \([X:Y:Z]\) devono soddisfare: \[ F = 0, \quad F_X = 0, \quad F_Y = 0, \quad F_Z = 0 \] **Caso 1: \(Z \neq 0\) (caso affine)** Poniamo \(Z = 1\) e consideriamo le equazioni: \[ \begin{cases} x y (x^{2} + y^{2}) + x^{2} - y^{2} = 0 \\ y(3x^{2} + y^{2}) + 2x = 0 \\ x(x^{2} + 3y^{2}) - 2y = 0 \\ 2(x^{2} - y^{2}) = 0 \quad \Rightarrow \quad x^{2} = y^{2} \end{cases} \] Dalla quarta equazione otteniamo \(y = \pm x\). Analizziamo i due sottocasi: - **Sottocaso \(y = x\):** \[ \begin{cases} x^4 + x^2 - x^2 = x^4 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 0 \\ \end{cases} \] La soluzione è \(x = 0\), quindi il punto singolare è \((0,0)\). - **Sottocaso \(y = -x\):** \[ \begin{cases} -x^4 + x^2 - x^2 = -x^4 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 0 \\ \end{cases} \] Anche in questo caso la soluzione è \(x = 0\), quindi il punto singolare è \((0,0)\). **Caso 2: \(Z = 0\) (punti all'infinito)** Consideriamo le coordinate omogenee \([X:Y:0]\). Le equazioni si riducono a: \[ XY(X^{2} + Y^{2}) = 0 \] I sottocasi sono: - **Sottocaso \(X = 0\) o \(Y = 0\):** Questi portano a \([0:0:0]\), che non è un punto valido nel piano proiettivo. - **Sottocaso \(X^{2} + Y^{2} = 0\):** Su \(\mathbb{C}\), le soluzioni sarebbero \([1:i:0]\) e \([1:-i:0]\). Tuttavia, verifichiamo le derivate: \[ F_X = Y(3X^{2} + Y^{2}) = Y(3(-Y^{2}) + Y^{2}) = Y(-2Y^{2}) = 0 \quad \Rightarrow \quad Y = 0 \quad \text{(contraddizione)} \] Non esistono quindi punti singolari all'infinito. 3. **Conclusione:** L'unico punto singolare della curva \(\mathscr{C}\) è l'origine \((0,0)\), corrispondente al punto proiettivo \([0:0:1]\). ### Risposta Finale **(a)** La chiusura proiettiva di \( \mathscr{C} \) è data dall'equazione \[ XY(X^{2} + Y^{2}) + X^{2}Z^{2} - Y^{2}Z^{2} = 0. \] **(b)** L'unico punto singolare della curva \(\mathscr{C}\) è l'origine \((0,0)\), corrispondente al punto proiettivo \([0:0:1]\).