Esercizio 4. Si consideri la curva algebrica

(a) Scrivere l’equazione della chiusura proiettiva di
(b) Calcoalre i punti singolari di .

Ask by Cervantes Savage. in Italy

Jan 24,2025

Question

Esercizio 4. Si consideri la curva algebrica

(a) Scrivere l’equazione della chiusura proiettiva di
(b) Calcoalre i punti singolari di .

Ask by Cervantes Savage. in Italy

Jan 24,2025

UpStudy AI · Accepted Answer

### Soluzione dell'Esercizio 4

Consideriamo la curva algebrica data in forma affine:
$$
\mathscr{C}: x y\left(x^{2}+y^{2}\right) + x^{2} - y^{2} = 0
$$

#### (a) Equazione della chiusura proiettiva di $$ \mathscr{C} $$

Per determinare la chiusura proiettiva della curva $$\mathscr{C}$$, dobbiamo omogeneizzare l'equazione data introducendo le coordinate omogenee $$[X:Y:Z]$$. L'obiettivo è rendere omogenea ogni monomio dell'equazione affinché tutti abbiano lo stesso grado.

1. **Determinazione del grado dell'equazione affine:**

L'espressione $$x y(x^{2} + y^{2})$$ ha grado 4, mentre $$x^{2}$$ e $$-y^{2}$$ hanno grado 2. Quindi, il grado massimo è $$d = 4$$.

2. **Omoogenizzazione dei termini:**

Sostituiamo $$x$$ con $$X/Z$$ e $$y$$ con $$Y/Z$$, moltiplicando ogni termine per $$Z^{4-d}$$ (in questo caso $$Z^{0} = 1$$).

$$
   x y(x^{2} + y^{2}) + x^{2} - y^{2} = 0 \quad \Rightarrow \quad XY(X^{2} + Y^{2}) + X^{2}Z^{2} - Y^{2}Z^{2} = 0
   $$

3. **Equazione della chiusura proiettiva:**

$$
   \mathscr{C}^*: XY(X^{2} + Y^{2}) + X^{2}Z^{2} - Y^{2}Z^{2} = 0
   $$

#### (b) Punti singolari di $$ \mathscr{C} $$

I punti singolari della curva $$\mathscr{C}$$ si ottengono risolvendo il sistema formato dall'equazione della curva e dalle sue derivate parziali prime uguali a zero.

1. **Calcolo delle derivate parziali:**

$$
   F(X,Y,Z) = XY(X^{2} + Y^{2}) + X^{2}Z^{2} - Y^{2}Z^{2}
   $$

- Derivata rispetto a $$X$$:
     $$
     F_X = Y(3X^{2} + Y^{2}) + 2XZ^{2}
     $$
   
   - Derivata rispetto a $$Y$$:
     $$
     F_Y = X(X^{2} + 3Y^{2}) - 2YZ^{2}
     $$
   
   - Derivata rispetto a $$Z$$:
     $$
     F_Z = 2Z(X^{2} - Y^{2})
     $$

2. **Ricerca dei punti singolari:**

I punti singolari $$[X:Y:Z]$$ devono soddisfare:
   $$
   F = 0, \quad F_X = 0, \quad F_Y = 0, \quad F_Z = 0
   $$

**Caso 1: $$Z \neq 0$$ (caso affine)**
   
   Poniamo $$Z = 1$$ e consideriamo le equazioni:
   $$
   \begin{cases}
   x y (x^{2} + y^{2}) + x^{2} - y^{2} = 0 \
   y(3x^{2} + y^{2}) + 2x = 0 \
   x(x^{2} + 3y^{2}) - 2y = 0 \
   2(x^{2} - y^{2}) = 0 \quad \Rightarrow \quad x^{2} = y^{2}
   \end{cases}
   $$
   
   Dalla quarta equazione otteniamo $$y = \pm x$$. Analizziamo i due sottocasi:

- **Sottocaso $$y = x$$:**
     $$
     \begin{cases}
     x^4 + x^2 - x^2 = x^4 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 0 \
     \end{cases}
     $$
     La soluzione è $$x = 0$$, quindi il punto singolare è $$(0,0)$$.

- **Sottocaso $$y = -x$$:**
     $$
     \begin{cases}
     -x^4 + x^2 - x^2 = -x^4 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 0 \
     \end{cases}
     $$
     Anche in questo caso la soluzione è $$x = 0$$, quindi il punto singolare è $$(0,0)$$.

**Caso 2: $$Z = 0$$ (punti all'infinito)**

Consideriamo le coordinate omogenee $$[X:Y:0]$$. Le equazioni si riducono a:
   $$
   XY(X^{2} + Y^{2}) = 0
   $$
   
   I sottocasi sono:

- **Sottocaso $$X = 0$$ o $$Y = 0$$:**
     Questi portano a $$[0:0:0]$$, che non è un punto valido nel piano proiettivo.
   
   - **Sottocaso $$X^{2} + Y^{2} = 0$$:**
     Su $$\mathbb{C}$$, le soluzioni sarebbero $$[1:i:0]$$ e $$[1:-i:0]$$. Tuttavia, verifichiamo le derivate:
     $$
     F_X = Y(3X^{2} + Y^{2}) = Y(3(-Y^{2}) + Y^{2}) = Y(-2Y^{2}) = 0 \quad \Rightarrow \quad Y = 0 \quad \text{(contraddizione)}
     $$
     Non esistono quindi punti singolari all'infinito.

3. **Conclusione:**

L'unico punto singolare della curva $$\mathscr{C}$$ è l'origine $$(0,0)$$, corrispondente al punto proiettivo $$[0:0:1]$$.

### Risposta Finale

**(a)** La chiusura proiettiva di $$ \mathscr{C} $$ è data dall'equazione
$$
XY(X^{2} + Y^{2}) + X^{2}Z^{2} - Y^{2}Z^{2} = 0.
$$

**(b)** L'unico punto singolare della curva $$\mathscr{C}$$ è l'origine $$(0,0)$$, corrispondente al punto proiettivo $$[0:0:1]$$.
### Soluzione dell'Esercizio 4 **a) Chiusura proiettiva di $$ \mathscr{C} $$:** $$ XY(X^{2} + Y^{2}) + X^{2}Z^{2} - Y^{2}Z^{2} = 0 $$ **b) Punti singolari di $$ \mathscr{C} $$:** L'unico punto singolare è l'origine $$(0,0)$$, corrispondente al punto proiettivo $$[0:0:1]$$.

Esercizio 4. Si consideri la curva algebrica

(a) Scrivere l’equazione della chiusura proiettiva di
(b) Calcoalre i punti singolari di .

Upstudy AI Solution

Answer

Soluzione dell’Esercizio 4

Solution

Mind Expander

Related Questions

Latest Algebra Questions

Esercizio 4. Si consideri la curva algebrica (a) Scrivere l’equazione della chiusura proiettiva di (b) Calcoalre i punti singolari di .

Upstudy AI Solution

Answer

Soluzione dell’Esercizio 4

Solution

Mind Expander

Related Questions

Latest Algebra Questions

Esercizio 4. Si consideri la curva algebrica

(a) Scrivere l’equazione della chiusura proiettiva di
(b) Calcoalre i punti singolari di .