3. Radioaktiver Schwefel zerfällt so, dass die Masse jedes Jahr um $$ \frac{1}{12} $$ abnimmt. Es sind anfangs 6 g Schwefel vorhanden. a) Wie viel Schwefel sind nach $$ 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 $$ Jahren noch vorhanden? b) Zeichne den Fuktionsgraphen und stelle eine Funktionsgleichung auf. c) Welcher Anteil ist nach 10 Jahren noch vorhanden? d) Ermittle die Halbwertszeit von radioaktivem Schwefel.

Question

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### Aufgabe 3a:

**Gegeben:**
- Anfangsmasse $$ m_0 = 6\,\text{g} $$
- Jährlicher Abnahmefaktor: $$ \frac{1}{12} $$ der aktuellen Masse

**Interpretation:**
Jedes Jahr nimmt die Masse um $$ \frac{1}{12} $$ der aktuellen Masse ab. Das bedeutet, dass nach jedem Jahr $$ \frac{11}{12} $$ der Masse verbleibt.

**Formel:**
Die verbleibende Masse nach $$ n $$ Jahren berechnet sich durch:
$$
m(n) = m_0 \left( \frac{11}{12} \right)^n
$$

**Berechnungen:**

1. **Nach 1 Jahr ($$ n = 1 $$):**
   $$
   m(1) = 6\,\text{g} \times \left( \frac{11}{12} \right)^1 = 6\,\text{g} \times 0.9167 \approx 5{,}50\,\text{g}
   $$

2. **Nach 2 Jahren ($$ n = 2 $$):**
   $$
   m(2) = 6\,\text{g} \times \left( \frac{11}{12} \right)^2 \approx 6\,\text{g} \times 0.8403 \approx 5{,}04\,\text{g}
   $$

3. **Nach 3 Jahren ($$ n = 3 $$):**
   $$
   m(3) = 6\,\text{g} \times \left( \frac{11}{12} \right)^3 \approx 6\,\text{g} \times 0.7708 \approx 4{,}63\,\text{g}
   $$

4. **Nach 4 Jahren ($$ n = 4 $$):**
   $$
   m(4) = 6\,\text{g} \times \left( \frac{11}{12} \right)^4 \approx 6\,\text{g} \times 0.7063 \approx 4{,}24\,\text{g}
   $$

5. **Nach 5 Jahren ($$ n = 5 $$):**
   $$
   m(5) = 6\,\text{g} \times \left( \frac{11}{12} \right)^5 \approx 6\,\text{g} \times 0.6475 \approx 3{,}89\,\text{g}
   $$

6. **Nach 6 Jahren ($$ n = 6 $$):**
   $$
   m(6) = 6\,\text{g} \times \left( \frac{11}{12} \right)^6 \approx 6\,\text{g} \times 0.5945 \approx 3{,}57\,\text{g}
   $$

**Zusammenfassung:**

| Jahr | Verbleibende Masse |
|------|---------------------|
| 1    | 5,50 g              |
| 2    | 5,04 g              |
| 3    | 4,63 g              |
| 4    | 4,24 g              |
| 5    | 3,89 g              |
| 6    | 3,57 g              |
**Nach 1 Jahr: 5,50 g Nach 2 Jahren: 5,04 g Nach 3 Jahren: 4,63 g Nach 4 Jahren: 4,24 g Nach 5 Jahren: 3,89 g Nach 6 Jahren: 3,57 g**

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