Dada la función \( f \) definida por \( f(x)=\frac{x^{2}+1}{x} \) se pide obtener razonadamente: a) La monotonía y los extremos relativos de f . (b) Las asíntotas de la función.

Para analizar la función \( f(x) = \frac{x^{2} + 1}{x} \), abordaremos los incisos solicitados de manera detallada. ### **a) Monotonía y Extremos Relativos de \( f \)** **1. Dominio de la función:** La función está definida para todo \( x \neq 0 \). **2. Derivada de \( f \):** Primero, simplificamos la función: \[ f(x) = \frac{x^{2} + 1}{x} = x + \frac{1}{x} \] Calculamos la derivada primera: \[ f'(x) = \frac{d}{dx}\left(x + \frac{1}{x}\right) = 1 - \frac{1}{x^{2}} \] **3. Determinación de puntos críticos:** Para encontrar los posibles extremos relativos, igualamos la derivada a cero: \[ f'(x) = 0 \Rightarrow 1 - \frac{1}{x^{2}} = 0 \] \[ \frac{1}{x^{2}} = 1 \Rightarrow x^{2} = 1 \Rightarrow x = \pm 1 \] **4. Análisis de la derivada:** Examinamos el signo de \( f'(x) \) en los intervalos determinados por los puntos críticos: - **Para \( x > 1 \):** \[ f'(x) = 1 - \frac{1}{x^{2}} > 0 \] La función es **creciente** en este intervalo. - **Para \( 0 < x < 1 \):** \[ f'(x) = 1 - \frac{1}{x^{2}} < 0 \] La función es **decreciente** en este intervalo. - **Para \( x < -1 \):** \[ f'(x) = 1 - \frac{1}{x^{2}} > 0 \] La función es **creciente** en este intervalo. - **Para \( -1 < x < 0 \):** \[ f'(x) = 1 - \frac{1}{x^{2}} < 0 \] La función es **decreciente** en este intervalo. **5. Extremos Relativos:** - **En \( x = 1 \):** La derivada cambia de negativa a positiva al pasar de \( (0,1) \) a \( (1, \infty) \), indicando un **mínimo relativo**. \[ f(1) = 1 + \frac{1}{1} = 2 \] - **En \( x = -1 \):** La derivada cambia de positiva a negativa al pasar de \( (-\infty, -1) \) a \( (-1,0) \), indicando un **máximo relativo**. \[ f(-1) = -1 + \frac{1}{-1} = -2 \] **Resumen:** - **Monotonicidad:** - Creciente en \( (-\infty, -1) \) y en \( (1, \infty) \). - Decreciente en \( (-1, 0) \) y en \( (0, 1) \). - **Extremos Relativos:** - **Máximo relativo** en \( x = -1 \) con \( f(-1) = -2 \). - **Mínimo relativo** en \( x = 1 \) con \( f(1) = 2 \). ### **b) Asíntotas de la Función \( f \)** **1. Asíntotas Verticales:** Las asíntotas verticales ocurren donde la función no está definida y el límite tiende a infinito. - **En \( x = 0 \):** La función no está definida en \( x = 0 \). Evaluamos los límites: \[ \lim_{x \to 0^{+}} f(x) = \lim_{x \to 0^{+}} \left(x + \frac{1}{x}\right) = +\infty \] \[ \lim_{x \to 0^{-}} f(x) = \lim_{x \to 0^{-}} \left(x + \frac{1}{x}\right) = -\infty \] Por lo tanto, existe una **asíntota vertical** en \( x = 0 \). **2. Asíntotas Horizontales u Oblicuas:** Examinamos el comportamiento de \( f(x) \) al tender \( x \) a \( \pm \infty \): \[ \lim_{x \to \pm \infty} f(x) = \lim_{x \to \pm \infty} \left(x + \frac{1}{x}\right) = \pm \infty \] No existe una asíntota horizontal, pero podemos determinar una **asíntota oblicua** si la función se aproxima a una línea recta de la forma \( y = mx + b \). Dado que: \[ f(x) = x + \frac{1}{x} \] Al tender \( x \) a \( \pm \infty \), \( \frac{1}{x} \) tiende a 0, por lo que la función se aproxima a \( y = x \). **Resumen:** - **Asíntota Vertical:** \( x = 0 \). - **Asíntota Oblicua:** \( y = x \). ### **Conclusión Final** **a) Monotonía y Extremos Relativos:** - **Monotónica:** Creciente en \( (-\infty, -1) \) y \( (1, \infty) \); Decreciente en \( (-1, 0) \) y \( (0, 1) \). - **Extremos Relativos:** Máximo relativo en \( x = -1 \) con \( f(-1) = -2 \) y mínimo relativo en \( x = 1 \) con \( f(1) = 2 \). **b) Asíntotas:** - **Vertical:** \( x = 0 \). - **Oblicua:** \( y = x \).