Exercice 58 : On considère les points \( A, B \) et \( C \) d'affixes respectives: \( a=2+2 i \sqrt{3}, b=-4+4 i \sqrt{3} \) et \( c=-1+i \sqrt{3} \) 1. Déterminer \( \arg \left(\frac{b-c}{a-c}\right) \). 2. En déduire que \( (A C) \perp(B C) \).

Pour résoudre le problème, commençons par calculer les affixes \( b - c \) et \( a - c \). 1. D'abord, trouvons \( b - c \) et \( a - c \) : \[ b - c = (-4 + 4i\sqrt{3}) - (-1 + i\sqrt{3}) = -4 + 1 + (4i\sqrt{3} - i\sqrt{3}) = -3 + 3i\sqrt{3} \] \[ a - c = (2 + 2i\sqrt{3}) - (-1 + i\sqrt{3}) = 2 + 1 + (2i\sqrt{3} - i\sqrt{3}) = 3 + i\sqrt{3} \] Maintenant, nous calculons le quotient \( \frac{b-c}{a-c} \) : \[ \frac{b-c}{a-c} = \frac{-3 + 3i\sqrt{3}}{3 + i\sqrt{3}} \] Pour trouver l'argument, nous multiplions le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur : \[ \frac{(-3 + 3i\sqrt{3})(3 - i\sqrt{3})}{(3 + i\sqrt{3})(3 - i\sqrt{3})} \] Le dénominateur se simplifie à : \[ 3^2 - (i\sqrt{3})^2 = 9 + 3 = 12 \] Le numérateur devient : \[ (-9 + 3i\sqrt{3}) + (9i - 3 \cdot 3) = -9 + 3 \cdot 3 = -9 + 9 = 0 + 12i \] Donc, nous avons : \[ \frac{0 + 12i}{12} = i \] Alors, \( \arg(i) = \frac{\pi}{2} \). 2. Pour déduire que \( AC \perp BC \), nous savons que deux vecteurs sont perpendiculaires si le produit scalaire entre eux est nul. Nous avons déjà trouvé que \[ \arg\left(\frac{b-c}{a-c}\right) = \frac{\pi}{2}. \] Cela signifie que le vecteur \( AC \) est perpendiculaire au vecteur \( BC \). Donc, on peut conclure que \( (A C) \perp (B C) \).