Eestude a funçäo exponencial: $$ y=3^{x-2} $$

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Claro! Vamos estudar a função exponencial $$ y = 3^{x-2} $$ em detalhes.

## 1. **Definição da Função Exponencial**

A função exponencial geral é dada por:
$$ y = a^{x} $$
onde:
- $$ a $$ é a base da função, $$ a > 0 $$ e $$ a \neq 1 $$.
- $$ x $$ é o expoente variável.

No caso da função $$ y = 3^{x-2} $$, a base $$ a = 3 $$, que é positiva e diferente de 1, satisfazendo as condições para uma função exponencial válida.

## 2. **Comparação com a Função Básica $$ y = 3^{x} $$**

A função $$ y = 3^{x-2} $$ é uma transformação da função exponencial básica $$ y = 3^{x} $$. A diferença está no termo $$ x-2 $$, que indica uma **translação horizontal** no gráfico.

## 3. **Transformações da Função**

A expressão $$ x - 2 $$ dentro do expoente provoca uma **translação para a direita** no gráfico da função básica $$ y = 3^{x} $$. Mais especificamente:
- **Translação Horizontal:** A função $$ y = 3^{x-2} $$ é a função $$ y = 3^{x} $$ transladada 2 unidades para a direita.

Isso ocorre porque, para cada valor de $$ y $$, o valor de $$ x $$ precisa ser 2 unidades maior para alcançar o mesmo $$ y $$ que a função básica.

## 4. **Domínio e Imagem (Intervalo)**

- **Domínio:** O conjunto de todos os números reais, já que a função exponencial está definida para todo $$ x $$:
  $$ \text{Domínio}: \mathbb{R} $$

- **Imagem (Intervalo):** Todos os números reais positivos, pois a função exponencial nunca atinge valores negativos ou zero:
  $$ \text{Imagem}: (0, +\infty) $$

## 5. **Assíntote Horizontal**

A função exponencial possui uma **assíntote horizontal**. Para $$ y = 3^{x-2} $$, a assíntote horizontal é:
$$ y = 0 $$

Isso significa que, conforme $$ x $$ tende para $$ -\infty $$, $$ y $$ se aproxima de 0, mas nunca toca ou cruza o eixo $$ x $$.

## 6. **Interseções com os Eixos**

- **Interseção com o Eixo $$ y $$:**
  Para encontrar o intercepto com o eixo $$ y $$, definimos $$ x = 0 $$:
  $$ y = 3^{0-2} = 3^{-2} = \frac{1}{9} $$
  Portanto, a interseção com o eixo $$ y $$ é no ponto $$ (0, \frac{1}{9}) $$.

- **Interseção com o Eixo $$ x $$:**
  Definimos $$ y = 0 $$ e tentamos resolver para $$ x $$:
  $$ 0 = 3^{x-2} $$
  Não há solução real para essa equação, já que $$ 3^{x-2} > 0 $$ para todo $$ x $$. Portanto, a função não intercepta o eixo $$ x $$.

## 7. **Comportamento da Função**

- **Crescimento:** Como a base $$ 3 $$ é maior que 1, a função é **crescente**. Ou seja, conforme $$ x $$ aumenta, $$ y $$ também aumenta.
  
- **Limites:**
  - $$\lim_{x \to +\infty} 3^{x-2} = +\infty$$
  - $$\lim_{x \to -\infty} 3^{x-2} = 0$$

## 8. **Gráfico da Função**

O gráfico de $$ y = 3^{x-2} $$ é similar ao da função básica $$ y = 3^{x} $$, mas deslocado 2 unidades para a direita. Veja os principais pontos:

| $$ x $$ | $$ y = 3^{x-2} $$ |
|---------|-------------------|
| -1      | $$ 3^{-3} = \frac{1}{27} $$  |
| 0       | $$ 3^{-2} = \frac{1}{9} $$   |
| 1       | $$ 3^{-1} = \frac{1}{3} $$   |
| 2       | $$ 3^{0} = 1 $$               |
| 3       | $$ 3^{1} = 3 $$               |
| 4       | $$ 3^{2} = 9 $$               |

**Características do Gráfico:**
- Passa pelo ponto $$ (0, \frac{1}{9}) $$.
- Passa pelo ponto $$ (2, 1) $$.
- Cresce rapidamente à medida que $$ x $$ aumenta.
- Aproxima-se da assíntote $$ y = 0 $$ quando $$ x $$ diminui.

![Gráfico da função y = 3^(x-2)](https://i.imgur.com/your-graph-url.png) *(Substitua pelo link de um gráfico da função, se necessário)*

## 9. **Resumo**

A função exponencial $$ y = 3^{x-2} $$ apresenta as seguintes características:

- **Base:** 3 (crescente, $$ a > 1 $$).
- **Translação:** 2 unidades para a direita em relação à função básica $$ y = 3^{x} $$.
- **Domínio:** Todos os números reais ($$ \mathbb{R} $$).
- **Imagem:** Números reais positivos ($$ (0, +\infty) $$).
- **Assíntote Horizontal:** $$ y = 0 $$.
- **Interseção com o eixo $$ y $$:** $$ (0, \frac{1}{9}) $$.
- **Comportamento:** Cresce exponencialmente conforme $$ x $$ aumenta; se aproxima de zero conforme $$ x $$ diminui.

Compreender essas propriedades permite analisar e interpretar adequadamente o comportamento da função exponencial $$ y = 3^{x-2} $$.
A função exponencial $$ y = 3^{x-2} $$ é uma função crescente com base 3. Ela é a função básica $$ y = 3^{x} $$ deslocada 2 unidades para a direita. O domínio é todos os números reais, e a imagem é todos os números reais positivos. O gráfico passa pelo ponto $$ (0, \frac{1}{9}) $$ e se aproxima da assíntote horizontal $$ y = 0 $$ quando $$ x $$ diminui.

Eestude a funçäo exponencial: \( y=3^{x-2} \)

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