Eestude a funçäo exponencial: \( y=3^{x-2} \)

Claro! Vamos estudar a função exponencial \( y = 3^{x-2} \) em detalhes. ## 1. **Definição da Função Exponencial** A função exponencial geral é dada por: \[ y = a^{x} \] onde: - \( a \) é a base da função, \( a > 0 \) e \( a \neq 1 \). - \( x \) é o expoente variável. No caso da função \( y = 3^{x-2} \), a base \( a = 3 \), que é positiva e diferente de 1, satisfazendo as condições para uma função exponencial válida. ## 2. **Comparação com a Função Básica \( y = 3^{x} \)** A função \( y = 3^{x-2} \) é uma transformação da função exponencial básica \( y = 3^{x} \). A diferença está no termo \( x-2 \), que indica uma **translação horizontal** no gráfico. ## 3. **Transformações da Função** A expressão \( x - 2 \) dentro do expoente provoca uma **translação para a direita** no gráfico da função básica \( y = 3^{x} \). Mais especificamente: - **Translação Horizontal:** A função \( y = 3^{x-2} \) é a função \( y = 3^{x} \) transladada 2 unidades para a direita. Isso ocorre porque, para cada valor de \( y \), o valor de \( x \) precisa ser 2 unidades maior para alcançar o mesmo \( y \) que a função básica. ## 4. **Domínio e Imagem (Intervalo)** - **Domínio:** O conjunto de todos os números reais, já que a função exponencial está definida para todo \( x \): \[ \text{Domínio}: \mathbb{R} \] - **Imagem (Intervalo):** Todos os números reais positivos, pois a função exponencial nunca atinge valores negativos ou zero: \[ \text{Imagem}: (0, +\infty) \] ## 5. **Assíntote Horizontal** A função exponencial possui uma **assíntote horizontal**. Para \( y = 3^{x-2} \), a assíntote horizontal é: \[ y = 0 \] Isso significa que, conforme \( x \) tende para \( -\infty \), \( y \) se aproxima de 0, mas nunca toca ou cruza o eixo \( x \). ## 6. **Interseções com os Eixos** - **Interseção com o Eixo \( y \):** Para encontrar o intercepto com o eixo \( y \), definimos \( x = 0 \): \[ y = 3^{0-2} = 3^{-2} = \frac{1}{9} \] Portanto, a interseção com o eixo \( y \) é no ponto \( (0, \frac{1}{9}) \). - **Interseção com o Eixo \( x \):** Definimos \( y = 0 \) e tentamos resolver para \( x \): \[ 0 = 3^{x-2} \] Não há solução real para essa equação, já que \( 3^{x-2} > 0 \) para todo \( x \). Portanto, a função não intercepta o eixo \( x \). ## 7. **Comportamento da Função** - **Crescimento:** Como a base \( 3 \) é maior que 1, a função é **crescente**. Ou seja, conforme \( x \) aumenta, \( y \) também aumenta. - **Limites:** - \(\lim_{x \to +\infty} 3^{x-2} = +\infty\) - \(\lim_{x \to -\infty} 3^{x-2} = 0\) ## 8. **Gráfico da Função** O gráfico de \( y = 3^{x-2} \) é similar ao da função básica \( y = 3^{x} \), mas deslocado 2 unidades para a direita. Veja os principais pontos: | \( x \) | \( y = 3^{x-2} \) | |---------|-------------------| | -1 | \( 3^{-3} = \frac{1}{27} \) | | 0 | \( 3^{-2} = \frac{1}{9} \) | | 1 | \( 3^{-1} = \frac{1}{3} \) | | 2 | \( 3^{0} = 1 \) | | 3 | \( 3^{1} = 3 \) | | 4 | \( 3^{2} = 9 \) | **Características do Gráfico:** - Passa pelo ponto \( (0, \frac{1}{9}) \). - Passa pelo ponto \( (2, 1) \). - Cresce rapidamente à medida que \( x \) aumenta. - Aproxima-se da assíntote \( y = 0 \) quando \( x \) diminui.  *(Substitua pelo link de um gráfico da função, se necessário)* ## 9. **Resumo** A função exponencial \( y = 3^{x-2} \) apresenta as seguintes características: - **Base:** 3 (crescente, \( a > 1 \)). - **Translação:** 2 unidades para a direita em relação à função básica \( y = 3^{x} \). - **Domínio:** Todos os números reais (\( \mathbb{R} \)). - **Imagem:** Números reais positivos (\( (0, +\infty) \)). - **Assíntote Horizontal:** \( y = 0 \). - **Interseção com o eixo \( y \):** \( (0, \frac{1}{9}) \). - **Comportamento:** Cresce exponencialmente conforme \( x \) aumenta; se aproxima de zero conforme \( x \) diminui. Compreender essas propriedades permite analisar e interpretar adequadamente o comportamento da função exponencial \( y = 3^{x-2} \).