\( \begin{array}{ll}\text { - } \log _{3}(x+9) & \text { Grafiquen las siguientes funciones. } \\ \text { - } \log _{3} x+9 & \begin{array}{l}\text { Analicen dominio, imagen, ceros } \\ \text { (intersecciones con los ejes), positividad, } \\ \text { - } \log _{3}(-x) \\ \text { negatividad y asintotas } \\ \text { - } \log _{\frac{1}{3}}(x) \\ \text { - } \log _{\frac{1}{3}}(-x) \\ \text { - } \log _{1}(-x+1)\end{array}\end{array} \)

Claro, a continuación se presentan las gráficas y el análisis de las funciones logarítmicas mencionadas: ## 1. \( \log_{3}(x + 9) \) ### **Gráfica:** La gráfica de \( \log_{3}(x + 9) \) es una curva logarítmica que se desplaza 9 unidades hacia la izquierda respecto a la gráfica estándar de \( \log_{3}(x) \). ### **Análisis:** - **Dominio:** \[ x + 9 > 0 \implies x > -9 \] \[ \text{Dominio}: (-9, +\infty) \] - **Imagen (Rango):** \[ \text{Imagen}: \mathbb{R} \quad (\text{todos los números reales}) \] - **Intersecciones con los ejes:** - **Intersección con el eje y:** Para \( x = 0 \): \[ \log_{3}(0 + 9) = \log_{3}(9) = 2 \] \[ \text{Punto: } (0, 2) \] - **Intersección con el eje x (cero de la función):** \[ \log_{3}(x + 9) = 0 \implies x + 9 = 1 \implies x = -8 \] \[ \text{Punto: } (-8, 0) \] - **Positividad y Negatividad:** - La función es **positiva** cuando \( \log_{3}(x + 9) > 0 \implies x + 9 > 1 \implies x > -8 \). - La función es **negativa** cuando \( 0 < x + 9 < 1 \implies -9 < x < -8 \). - **Asíntotas:** - **Asíntota vertical** en \( x = -9 \). ### **Conclusión:** La función \( \log_{3}(x + 9) \) está definida para \( x > -9 \), tiene una intersección con el eje y en (0, 2) y con el eje x en (-8, 0). Es positiva para \( x > -8 \) y negativa para \( -9 < x < -8 \). La asíntota vertical en \( x = -9 \) indica que la función se aproxima a este valor pero nunca lo alcanza. --- ## 2. \( \log_{3}x + 9 \) ### **Gráfica:** Esta función es una transformación vertical de \( \log_{3}x \), desplazada 9 unidades hacia arriba. ### **Análisis:** - **Dominio:** \[ x > 0 \] - **Imagen (Rango):** \[ \text{Imagen}: \mathbb{R} \quad (\text{todos los números reales}) \] - **Intersecciones con los ejes:** - **Intersección con el eje y:** Para \( x = 1 \): \[ \log_{3}(1) + 9 = 0 + 9 = 9 \] \[ \text{Punto: } (1, 9) \] - **Intersección con el eje x (cero de la función):** \[ \log_{3}x + 9 = 0 \implies \log_{3}x = -9 \implies x = 3^{-9} = \frac{1}{19683} \] \[ \text{Punto: } \left(\frac{1}{19683}, 0\right) \] - **Positividad y Negatividad:** - **Positiva:** \( \log_{3}x + 9 > 0 \implies \log_{3}x > -9 \implies x > 3^{-9} \) - **Negativa:** \( \log_{3}x + 9 < 0 \implies \log_{3}x < -9 \implies 0 < x < 3^{-9} \) - **Asíntotas:** - **Asíntota vertical** en \( x = 0 \). ### **Conclusión:** La función \( \log_{3}x + 9 \) está definida para \( x > 0 \), con una intersección en el eje y en (1, 9) y en el eje x en \( \left(\frac{1}{19683}, 0\right) \). Es positiva para \( x > \frac{1}{19683} \) y negativa para \( 0 < x < \frac{1}{19683} \). Tiene una asíntota vertical en \( x = 0 \). --- ## 3. \( \log_{3}(-x) \) ### **Gráfica:** Esta función refleja la gráfica de \( \log_{3}x \) respecto al eje y. ### **Análisis:** - **Dominio:** \[ -x > 0 \implies x < 0 \] \[ \text{Dominio}: (-\infty, 0) \] - **Imagen (Rango):** \[ \text{Imagen}: \mathbb{R} \] - **Intersecciones con los ejes:** - **Intersección con el eje y:** No existe, ya que \( x \) no puede ser cero. - **Intersección con el eje x:** \[ \log_{3}(-x) = 0 \implies -x = 1 \implies x = -1 \] \[ \text{Punto: } (-1, 0) \] - **Positividad y Negatividad:** - **Positiva:** \( \log_{3}(-x) > 0 \implies -x > 1 \implies x < -1 \) - **Negativa:** \( 0 < -x < 1 \implies -1 < x < 0 \) - **Asíntotas:** - **Asíntota vertical** en \( x = 0 \). ### **Conclusión:** La función \( \log_{3}(-x) \) está definida para \( x < 0 \), con una intersección con el eje x en (-1, 0). Es positiva para \( x < -1 \) y negativa para \( -1 < x < 0 \). Tiene una asíntota vertical en \( x = 0 \). --- ## 4. \( \log_{\frac{1}{3}}(x) \) ### **Gráfica:** Dado que la base \( \frac{1}{3} \) es menor que 1, la gráfica de \( \log_{\frac{1}{3}}(x) \) es una reflexión respecto al eje y de la gráfica de \( \log_{3}x \). ### **Análisis:** - **Dominio:** \[ x > 0 \] - **Imagen (Rango):** \[ \text{Imagen}: \mathbb{R} \] - **Intersecciones con los ejes:** - **Intersección con el eje y:** Para \( x = 1 \): \[ \log_{\frac{1}{3}}(1) = 0 \] \[ \text{Punto: } (1, 0) \] - **Intersección con el eje x:** Similar a la función \(\log_{3}x\), la única intersección es en \( x = 1 \). - **Positividad y Negatividad:** - **Positiva:** \( \log_{\frac{1}{3}}(x) > 0 \implies x < 1 \) - **Negativa:** \( \log_{\frac{1}{3}}(x) < 0 \implies x > 1 \) - **Asíntotas:** - **Asíntota vertical** en \( x = 0 \). ### **Conclusión:** La función \( \log_{\frac{1}{3}}(x) \) está definida para \( x > 0 \), con una intersección en el eje x en (1, 0). Es positiva para \( 0 < x < 1 \) y negativa para \( x > 1 \). Tiene una asíntota vertical en \( x = 0 \). --- ## 5. \( \log_{\frac{1}{3}}(-x) \) ### **Gráfica:** Esta función es una combinación de reflexión respecto al eje y y cambio de base, lo que invierte la dirección de la gráfica. ### **Análisis:** - **Dominio:** \[ -x > 0 \implies x < 0 \] \[ \text{Dominio}: (-\infty, 0) \] - **Imagen (Rango):** \[ \text{Imagen}: \mathbb{R} \] - **Intersecciones con los ejes:** - **Intersección con el eje y:** No existe, ya que \( x \) no puede ser cero. - **Intersección con el eje x:** \[ \log_{\frac{1}{3}}(-x) = 0 \implies -x = 1 \implies x = -1 \] \[ \text{Punto: } (-1, 0) \] - **Positividad y Negatividad:** - **Positiva:** \( \log_{\frac{1}{3}}(-x) > 0 \implies -x < 1 \implies x > -1 \) - **Negativa:** \( \log_{\frac{1}{3}}(-x) < 0 \implies -x > 1 \implies x < -1 \) - **Asíntotas:** - **Asíntota vertical** en \( x = 0 \). ### **Conclusión:** La función \( \log_{\frac{1}{3}}(-x) \) está definida para \( x < 0 \), con una intersección con el eje x en (-1, 0). Es positiva para \( -1 < x < 0 \) y negativa para \( x < -1 \). Tiene una asíntota vertical en \( x = 0 \). --- ## 6. \( \log_{1}(-x + 1) \) ### **Análisis:** - **Dominio:** \[ -x + 1 > 0 \implies x < 1 \] \[ \text{Dominio}: (-\infty, 1) \] - **Base del logaritmo:** La base del logaritmo es 1. Sin embargo, **la función logarítmica no está definida cuando la base es 1**, ya que no existe un exponente que satisfaga \( 1^y = x \) para \( x \neq 1 \). ### **Conclusión:** La función \( \log_{1}(-x + 1) \) **no está definida** porque la base del logaritmo es 1, lo cual hace que la función no tenga sentido matemático. Por lo tanto, no se puede graficar ni analizar sus propiedades.