Se tiene el conjunto \[ S=\{2 x+3 \in \mathbb{Z} \mid 2 x-1

Ask by Maxwell Knight. in Peru

Feb 03,2025

Para determinar el conjunto \( S = \{ 2x + 3 \in \mathbb{Z} \mid 2x - 1 < x + 3 \leq 3x + 1 \} \), primero debemos resolver las desigualdades que definen el conjunto. ### Paso 1: Resolver la primera desigualdad La primera desigualdad es: \[ 2x - 1 < x + 3 \] Restamos \( x \) de ambos lados: \[ 2x - x - 1 < 3 \] Esto simplifica a: \[ x - 1 < 3 \] Sumamos 1 a ambos lados: \[ x < 4 \] ### Paso 2: Resolver la segunda desigualdad La segunda desigualdad es: \[ x + 3 \leq 3x + 1 \] Restamos \( x \) de ambos lados: \[ 3 \leq 3x - x + 1 \] Esto simplifica a: \[ 3 \leq 2x + 1 \] Restamos 1 de ambos lados: \[ 2 \leq 2x \] Dividimos entre 2: \[ 1 \leq x \] ### Paso 3: Combinar las desigualdades Ahora combinamos las dos desigualdades que hemos encontrado: \[ 1 \leq x < 4 \] ### Paso 4: Determinar los valores enteros de \( x \) Los valores enteros que satisfacen \( 1 \leq x < 4 \) son: \[ x = 1, 2, 3 \] ### Paso 5: Calcular \( 2x + 3 \) para cada valor de \( x \) Ahora calculamos \( 2x + 3 \) para cada uno de estos valores de \( x \): - Para \( x = 1 \): \[ 2(1) + 3 = 5 \] - Para \( x = 2 \): \[ 2(2) + 3 = 7 \] - Para \( x = 3 \): \[ 2(3) + 3 = 9 \] ### Paso 6: Conjunto \( S \) Por lo tanto, el conjunto \( S \) es: \[ S = \{5, 7, 9\} \] ### Paso 7: Determinar el cardinal de \( S \) El cardinal de \( S \) es el número de elementos en el conjunto, que es 3. ### Respuesta final El cardinal del conjunto \( S \) es \( \boxed{3} \).