Se tiene el conjunto \[ S=\{2 x+3 \in \mathbb{Z} \mid 2 x-1

Ask by Maxwell Knight. in Peru

Feb 03,2025

Primero, vamos a resolver la doble desigualdad \( 2x - 1 < x + 3 \leq 3x + 1 \). **Paso 1: Resolver la primera desigualdad \( 2x - 1 < x + 3 \)** Restamos \( x \) de ambos lados y sumamos 1: \[ 2x - 1 < x + 3 \implies 2x - x < 3 + 1 \implies x < 4. \] **Paso 2: Resolver la segunda desigualdad \( x + 3 \leq 3x + 1 \)** Restamos \( x \) de ambos lados y restamos 1: \[ x + 3 \leq 3x + 1 \implies 3 - 1 \leq 3x - x \implies 2 \leq 2x \implies 1 \leq x. \] **Paso 3: Combinar las soluciones** Ahora combinamos nuestras dos soluciones: \( 1 \leq x < 4 \). Esto significa que \( x \) puede tomar los valores: \[ x = 1, 2, 3. \] **Paso 4: Calcular \( S\)** Ahora que sabemos los valores de \( x \), vamos a calcular \( S \): - Para \( x = 1 \): \[ 2(1) + 3 = 2 + 3 = 5. \] - Para \( x = 2 \): \[ 2(2) + 3 = 4 + 3 = 7. \] - Para \( x = 3 \): \[ 2(3) + 3 = 6 + 3 = 9. \] Por lo tanto, el conjunto \( S \) queda como: \[ S = \{5, 7, 9\}. \] **Paso 5: Determinar la cardinalidad de \( S \)** La cardinalidad de \( S \) es el número de elementos en \( S \) que es 3. Por lo tanto, el cardinal de \( S \) es: \[ \boxed{3}. \]