Dadas las funciones proposicionales indica si \( P \) es condición necesaria, suficientes, ambas o ninguna para \( Q \). Siendo \( U=\mathbb{R} \) \[ \begin{array}{l}P(x): \frac{(x+1)^{11}(x+3)^{22}}{(x-2)^{84}}<0 \\ Q(x):(x+3)(x-1) \geq 0\end{array} \]

Para analizar las funciones proposicionales dadas, primero debemos examinar las condiciones que se deben satisfacer en cada función. La función \( P(x) = \frac{(x+1)^{11}(x+3)^{22}}{(x-2)^{84}} < 0 \) implica que el numerador debe ser positivo y el denominador debe ser negativo, ya que la fracción completa es negativa. Observando los factores, el numerador es positivo para \( x > -1 \), ya que \( (x+1)^{11} > 0 \) y \( (x+3)^{22} > 0 \) cuando \( x > -3 \). Sin embargo, el denominador \( (x-2)^{84} \) es positivo para \( x \neq 2 \), ya que es un exponente par. Por lo tanto, \( P(x) < 0 \) se realizará cuando \( x < -1 \) (donde el numerador es negativo) y \( x \neq 2 \). En cuanto a \( Q(x) = (x+3)(x-1) \geq 0 \), esta función es no negativa si \( x \in (-\infty, -3] \) o \( x \in [1, \infty) \) porque la función cambia de signo en los puntos críticos \( -3 \) y \( 1 \). Para determinar si \( P \) es una condición necesaria o suficiente para \( Q \), observe: - Para que \( P(x) < 0 \), necesitamos que \( x < -1 \), lo cual incluye parte del intervalo donde \( Q(x) \) puede ser positivo o negativo. Así que no podemos afirmar que \( P \) implica \( Q \) en todos los casos. - Para que \( Q(x) \) sea verdad, \( x \) puede estar en varios intervalos, algunos de los cuales (como \( x \in [1, \infty) \)) no satisfacen \( P(x) < 0 \). Por lo tanto, concluimos que \( P \) no es condición suficiente ni necesaria para \( Q \). En resumen, \( P \) y \( Q \) son independientes; \( P \) no implica a \( Q \) y viceversa.