Se tiene un cierto número de bolas blancas, rojas y azules, donde se cumple que por cada 4 blancas hay 5 rojas y por cada 7 rojas hay 11 azules. Si la cantidad de azules excede a los rojos en 140 . En cuánto excede las bolas azules respecto a las bolas blancas? \( \begin{array}{lll}\text { A) } 49 & \text { B) } 196 & \text { C) } 198 \\ \text { D) } 189 & \text { E) } 169 & \end{array} \)

Vamos a resolver el problema paso a paso. Primero, definamos las variables para las bolas. Sea \( W \) la cantidad de bolas blancas y \( R \) la cantidad de bolas rojas. Según la información, tenemos: 1. \(\frac{W}{R} = \frac{4}{5}\), por lo que podemos expresar \( R \) en términos de \( W \): \[ R = \frac{5}{4}W \] 2. Ahora, según la relación entre las bolas rojas y azules, tenemos: \(\frac{R}{A} = \frac{7}{11}\), donde \( A \) es la cantidad de bolas azules. Esto lo podemos escribir como: \[ A = \frac{11}{7}R \] 3. Desde la ecuación de \( R \) en términos de \( W \), sustituimos \( R \) en la ecuación de \( A \): \[ A = \frac{11}{7} \left(\frac{5}{4}W\right) = \frac{55}{28}W \] 4. Sabemos que la cantidad de bolas azules excede a las bolas rojas en 140: \[ A - R = 140 \] Sustituyendo las expresiones en términos de \( W \): \[ \frac{55}{28}W - \frac{5}{4}W = 140 \] Primero, para restar estas fracciones, debemos encontrar un denominador común. El mínimo común múltiplo de \( 28 \) y \( 4 \) es \( 28 \): \[ \frac{55}{28}W - \frac{35}{28}W = 140 \] Simplificando esto: \[ \frac{20}{28}W = 140 \quad \Rightarrow \quad \frac{5}{7}W = 140 \] Despejamos \( W \): \[ W = 140 \cdot \frac{7}{5} = 196 \] 5. Ahora que tenemos el número de bolas blancas, calculamos las bolas azules: \[ R = \frac{5}{4}W = \frac{5}{4} \cdot 196 = 245 \] \[ A = \frac{11}{7}R = \frac{11}{7} \cdot 245 = 385 \] 6. Finalmente, el problema pide cuántas bolas azules exceden a las bolas blancas: \[ A - W = 385 - 196 = 189 \] Por lo tanto, la respuesta correcta es \(D) 189\).