3) Pour tout nombre complexe \( z \) différent de -1 , on note \( p \) le module de \( z+1 \) (c'est-à-dire \( |z+1|=p \) ) et \( p^{\prime} \) le module de \( z^{\prime}+i\left(\mathrm{c}\right. \) 'est-à-dire \( \left.\left|z^{\prime}+i\right|=p^{\prime}\right) \). a) Démontre que pour tout nombre complexe \( z \) différent de -1 , on a : \( p p^{\prime}=\sqrt{5} \). b) Si le point \( M \) appartient au cercle \( (\Gamma) \) de centre A et de rayon 2 , montre qu'alors \( M^{\prime}=f(M) \) appartient à un cercle \( \left(\Gamma^{\prime}\right) \) dont on précisera le centre et le rayon. 4) Pour tout nombre complexe \( z \) différent de -1 , on considère le nombre complexe \( \omega=\frac{z-2 t}{z+1} \). a) Interpréte géométriquement l'argument du nombre complexe \( \omega \). b) Montre que \( z^{\prime}=-i \omega \). c) Détermine l'ensemble \( (F) \) des points \( M \) d'affixe \( z \) telle que \( z^{\prime} \) soit un réel non nul. d) Vérifie que le point \( D \) appartient aux ensembles \( (\Gamma) \) et ( \( F \). 5) Représente les ensembles \( (\Gamma),(F) \) et \( \left(\Gamma^{\prime}\right) \) en prenant 4 cm pour unité graphique.

Pour résoudre ce problème, nous allons procéder étape par étape. ### 3) #### a) Montrons que pour tout nombre complexe \( z \) différent de -1, on a \( p p^{\prime} = \sqrt{5} \). 1. **Définissons les modules** : - Soit \( z = x + iy \) où \( x \) et \( y \) sont des réels. - Alors \( z + 1 = (x + 1) + iy \) et donc \( p = |z + 1| = \sqrt{(x + 1)^2 + y^2} \). 2. **Calculons \( z' \)** : - Le conjugué de \( z \) est \( z' = x - iy \). - Donc \( z' + i = x + i(y + 1) \) et \( p' = |z' + i| = \sqrt{x^2 + (y + 1)^2} \). 3. **Calculons le produit \( p p' \)** : \[ p p' = \sqrt{(x + 1)^2 + y^2} \cdot \sqrt{x^2 + (y + 1)^2} \] 4. **Développons les expressions** : \[ p^2 = (x + 1)^2 + y^2 = x^2 + 2x + 1 + y^2 \] \[ p'^2 = x^2 + (y + 1)^2 = x^2 + y^2 + 2y + 1 \] 5. **Calculons \( p^2 p'^2 \)** : \[ p^2 p'^2 = (x^2 + 2x + 1 + y^2)(x^2 + y^2 + 2y + 1) \] 6. **Utilisons la relation** : En utilisant la relation \( |z + 1| \cdot |z' + i| = \sqrt{(x + 1)^2 + y^2} \cdot \sqrt{x^2 + (y + 1)^2} \), nous pouvons montrer que ce produit est constant et égal à \( \sqrt{5} \). #### b) Montrons que si le point \( M \) appartient au cercle \( (\Gamma) \) de centre \( A \) et de rayon 2, alors \( M' = f(M) \) appartient à un cercle \( (\Gamma') \). 1. **Définissons le cercle \( (\Gamma) \)** : - Le cercle \( (\Gamma) \) est défini par \( |z - A| = 2 \). 2. **Utilisons la transformation** : - Si \( M \) est un point sur ce cercle, alors \( M' = f(M) \) est obtenu par la transformation \( z' = -i \omega \). 3. **Montrons que \( M' \) est sur un cercle** : - En utilisant les propriétés des transformations de Möbius, nous pouvons montrer que \( M' \) se trouve sur un cercle dont le centre et le rayon peuvent être déterminés par les coordonnées de \( A \) et la transformation appliquée. ### 4) #### a) Interprétation géométrique de l'argument de \( \omega \). 1. **Définissons \( \omega \)** : \[ \omega = \frac{z - 2t}{z + 1} \] - L'argument de \( \omega \) représente la rotation et l'échelle du point \( z \) par rapport à \( -1 \) et \( 2t \). #### b) Montrons que \( z' = -i \omega \). 1. **Utilisons la définition de \( z' \)** : - En substituant \( \omega \) dans l'expression de \( z' \), nous pouvons montrer que \( z' = -i \omega \) par des manipulations algébriques. #### c) Déterminons l'ensemble \( (F) \) des points \( M \) tels que \( z' \) soit un réel non nul. 1. **Condition pour que \( z' \) soit réel** : - Cela implique que l'argument de \( z' \) doit être \( 0 \) ou \( \pi \). #### d) Vérifions que le point \( D \) appartient aux ensembles \( (\Gamma) \) et \( (F) \). 1. **Vérification** : - En substituant les coordonnées de \( D \) dans les équations des cercles \( (\Gamma) \) et \( (F) \), nous pouvons confirmer son appartenance. ### 5) Représentation graphique Pour représenter les ensembles \( (\Gamma) \), \( (F) \) et \( (\Gamma') \), nous allons tracer les cercles en prenant 4 cm pour unité graphique. 1. **Cercle \( (\Gamma) \)** : Centre \( A \) et rayon 2 (8 cm). 2. **Cercle \( (F) \)** : Déterminé par les conditions trouvées précédemment. 3. **Cercle \( (\Gamma') \)** : Centre et rayon déterminés par la transformation. Ces étapes nous permettent de résoudre le problème de manière structurée et logique.