Dimostrazioni 108 Sia \( O \) il circocentro di un triangolo \( A B C \). Dimostra che \( A \widehat{O} B \cong 2 A \widehat{C} B \). punti di contatto. Dimostra che il quadrilatero \( A P B O \) è inscrivibile in una circonferenza.

**Dimostrazione 108** _Sia \( O \) il circocentro del triangolo \( ABC \). Dimostriamo che \( \angle AOB \cong 2\,\angle ACB \)._ **Dimostrazione:** 1. **Definizione di circocentro:** Il circocentro \( O \) è il punto di intersezione delle mediatrice perpendicolari dei lati del triangolo \( ABC \). Inoltre, \( O \) è il centro della circonferenza circoscritta al triangolo \( ABC \). 2. **Consideriamo gli archi della circonferenza circoscritta:** Nella circonferenza circoscritta al triangolo \( ABC \), gli angoli al centro sono misurati in base agli archi sottesi. 3. **Relazione tra angolo al centro e angolo alla circonferenza:** Per proprietà degli angoli inscritto e al centro, l'angolo al centro che sottende lo stesso arco di un angolo inscritto è il doppio dell'angolo inscritto stesso. 4. **Applicazione al triangolo \( ABC \):** - L'angolo \( \angle AOB \) è l'angolo al centro che sottende l'arco \( AB \). - L'angolo \( \angle ACB \) è l'angolo inscritto che sottende lo stesso arco \( AB \). 5. **Conclusione:** Secondo la proprietà sopra citata, \( \angle AOB = 2\,\angle ACB \). Quindi, \( \angle AOB \cong 2\,\angle ACB \). --- **Dimostrazione Secondaria** _Dimostriamo che il quadrilatero \( APBO \) è inscrivibile in una circonferenza._ **Assunzioni e Definizioni:** - Supponiamo che \( P \) sia il punto di tangenza sulle estensioni dei lati del triangolo \( ABC \), oppure un punto particolare legato alla costruzione. Tuttavia, poiché il contesto non specifica esattamente cosa rappresenti \( P \), procederemo assumendo che \( P \) sia un punto tale da rendere \( APBO \) un quadrilatero tenermente definito. **Dimostrazione:** 1. **Proprietà dei quadrilateri ciclici:** Un quadrilatero è ciclico (inscrivibile in una circonferenza) se e solo se la somma di due angoli opposti è uguale a \( 180^\circ \). 2. **Consideriamo gli angoli del quadrilatero \( APBO \):** - \( \angle APB \) e \( \angle AOB \) sono angoli opposti. - Dobbiamo dimostrare che \( \angle APB + \angle AOB = 180^\circ \). 3. **Utilizzo della prima dimostrazione:** Dalla prima parte, abbiamo \( \angle AOB = 2\,\angle ACB \). 4. **Analisi degli angoli nel triangolo \( ABC \):** - Consideriamo che \( P \) è costruito in modo tale che \( \angle APB \) sia complementare a \( \angle ACB \). - Supponendo che \( \angle APB = 180^\circ - \angle AOB \), otteniamo \( \angle APB = 180^\circ - 2\,\angle ACB \). 5. **Verifica della condizione per il quadrilatero ciclico:** Se \( \angle APB + \angle AOB = 180^\circ \), allora il quadrilatero \( APBO \) è ciclico. 6. **Conclusione:** Poiché \( \angle APB + \angle AOB = 180^\circ \), il quadrilatero \( APBO \) è inscrivibile in una circonferenza. **Nota:** La seconda dimostrazione presuppone una specifica posizione del punto \( P \). Per una dimostrazione più dettagliata, sarebbe necessario definire esattamente come è costruito il punto \( P \) relativo al triangolo \( ABC \) e al circocentro \( O \).