Докажите тождество: а) $$ \sin (\alpha+\beta)+\sin (-\alpha) \cos (-\beta)=\sin \alpha \cos \beta $$ б) $$ \cos (\alpha+\beta)+\sin (-\alpha) \sin (-\beta)=\sin \alpha \cos \beta $$

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

Давайте последовательно докажем каждое из предложенных тождеств.

### а) Докажите тождество:
$$
\sin (\alpha + \beta) + \sin (-\alpha) \cos (-\beta) = \sin \alpha \cos \beta
$$

**Шаг 1: Применим формулы для отрицательных аргументов**

Из свойств тригонометрических функций известно:
$$
\sin(-\alpha) = -\sin \alpha \quad \text{и} \quad \cos(-\beta) = \cos \beta
$$

Подставим эти выражения в левую часть тождества:
$$
\sin (\alpha + \beta) + \sin (-\alpha) \cos (-\beta) = \sin (\alpha + \beta) - \sin \alpha \cos \beta
$$

**Шаг 2: Раскроем синус суммы**

Используем формулу синуса суммы:
$$
\sin (\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta
$$

Подставим это выражение:
$$
\sin (\alpha + \beta) - \sin \alpha \cos \beta = (\sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta) - \sin \alpha \cos \beta = \cos \alpha \sin \beta
$$

**Шаг 3: Сравним с правой частью**

Получили:
$$
\cos \alpha \sin \beta = \sin \alpha \cos \beta
$$

Это равенство выполняется тогда и только тогда, когда:
$$
\cos \alpha \sin \beta = \sin \alpha \cos \beta \quad \Rightarrow \quad \tan \alpha = \tan \beta
$$
То есть, тождество справедливо при условии, что $$\alpha$$ и $$\beta$$ отличаются на кратное $$\pi$$.

### б) Докажите тождество:
$$
\cos (\alpha + \beta) + \sin (-\alpha) \sin (-\beta) = \sin \alpha \cos \beta
$$

**Шаг 1: Применим формулы для отрицательных аргументов**

Из свойств тригонометрических функций известно:
$$
\sin(-\alpha) = -\sin \alpha \quad \text{и} \quad \sin(-\beta) = -\sin \beta
$$

Подставим эти выражения в левую часть тождества:
$$
\cos (\alpha + \beta) + \sin (-\alpha) \sin (-\beta) = \cos (\alpha + \beta) + \sin \alpha \sin \beta
$$

**Шаг 2: Раскроем косинус суммы**

Используем формулу косинуса суммы:
$$
\cos (\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta
$$

Подставим это выражение:
$$
\cos (\alpha + \beta) + \sin \alpha \sin \beta = (\cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta) + \sin \alpha \sin \beta = \cos \alpha \cos \beta
$$

**Шаг 3: Сравним с правой частью**

Получили:
$$
\cos \alpha \cos \beta = \sin \alpha \cos \beta
$$

Это равенство выполняется тогда и только тогда, когда:
$$
\cos \alpha = \sin \alpha \quad \Rightarrow \quad \alpha = \frac{\pi}{4} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}
$$

Таким образом, тождество $$\text{б}$$ справедливо только при $$\alpha = \frac{\pi}{4} + k\pi$$, где $$k$$ — целое число.

### Вывод

Оба предложенных тождества не являются общими тригонометрическими тождествами, справедливы они лишь при определённых углах $$\alpha$$ и $$\beta$$. Возможно, в условии задачи была допущена ошибка, и требуемые равенства имеют другие правые части.
Для тождества а) справедливо при $$\alpha = \frac{\pi}{4} + k\pi$$, где $$k$$ — целое число. Для тождества б) оно не является общим тригонометрическим тождеством и справедливо только при определённых значениях углов $$\alpha$$ и $$\beta$$.

Докажите тождество:
а)
б)

Upstudy AI Solution

Answer

Solution

Beyond the Answer

Related Questions

Latest Trigonometry Questions

Докажите тождество: а) б)