Докажите тождество: а) \( \sin (\alpha+\beta)+\sin (-\alpha) \cos (-\beta)=\sin \alpha \cos \beta \) б) \( \cos (\alpha+\beta)+\sin (-\alpha) \sin (-\beta)=\sin \alpha \cos \beta \)

Давайте последовательно докажем каждое из предложенных тождеств. ### а) Докажите тождество: \[ \sin (\alpha + \beta) + \sin (-\alpha) \cos (-\beta) = \sin \alpha \cos \beta \] **Шаг 1: Применим формулы для отрицательных аргументов** Из свойств тригонометрических функций известно: \[ \sin(-\alpha) = -\sin \alpha \quad \text{и} \quad \cos(-\beta) = \cos \beta \] Подставим эти выражения в левую часть тождества: \[ \sin (\alpha + \beta) + \sin (-\alpha) \cos (-\beta) = \sin (\alpha + \beta) - \sin \alpha \cos \beta \] **Шаг 2: Раскроем синус суммы** Используем формулу синуса суммы: \[ \sin (\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta \] Подставим это выражение: \[ \sin (\alpha + \beta) - \sin \alpha \cos \beta = (\sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta) - \sin \alpha \cos \beta = \cos \alpha \sin \beta \] **Шаг 3: Сравним с правой частью** Получили: \[ \cos \alpha \sin \beta = \sin \alpha \cos \beta \] Это равенство выполняется тогда и только тогда, когда: \[ \cos \alpha \sin \beta = \sin \alpha \cos \beta \quad \Rightarrow \quad \tan \alpha = \tan \beta \] То есть, тождество справедливо при условии, что \(\alpha\) и \(\beta\) отличаются на кратное \(\pi\). ### б) Докажите тождество: \[ \cos (\alpha + \beta) + \sin (-\alpha) \sin (-\beta) = \sin \alpha \cos \beta \] **Шаг 1: Применим формулы для отрицательных аргументов** Из свойств тригонометрических функций известно: \[ \sin(-\alpha) = -\sin \alpha \quad \text{и} \quad \sin(-\beta) = -\sin \beta \] Подставим эти выражения в левую часть тождества: \[ \cos (\alpha + \beta) + \sin (-\alpha) \sin (-\beta) = \cos (\alpha + \beta) + \sin \alpha \sin \beta \] **Шаг 2: Раскроем косинус суммы** Используем формулу косинуса суммы: \[ \cos (\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta \] Подставим это выражение: \[ \cos (\alpha + \beta) + \sin \alpha \sin \beta = (\cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta) + \sin \alpha \sin \beta = \cos \alpha \cos \beta \] **Шаг 3: Сравним с правой частью** Получили: \[ \cos \alpha \cos \beta = \sin \alpha \cos \beta \] Это равенство выполняется тогда и только тогда, когда: \[ \cos \alpha = \sin \alpha \quad \Rightarrow \quad \alpha = \frac{\pi}{4} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \] Таким образом, тождество \(\text{б}\) справедливо только при \(\alpha = \frac{\pi}{4} + k\pi\), где \(k\) — целое число. ### Вывод Оба предложенных тождества не являются общими тригонометрическими тождествами, справедливы они лишь при определённых углах \(\alpha\) и \(\beta\). Возможно, в условии задачи была допущена ошибка, и требуемые равенства имеют другие правые части.