Exercice 62 : Soit les nombres complexes: \( z_{1}=\frac{\sqrt{6}-i \sqrt{2}}{2} \) et \( z_{2}=1-i \) 1. Donner une forme trigonométrique de: \( z_{1}, z_{2} \) et \( \frac{z_{1}}{z_{2}} \). 2. Donner la forme algérique de \( \frac{z_{1}}{z_{2}} \) 3. En déduire que: \( \cos \left(\frac{\pi}{12}\right)=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} \) et \( \sin \left(\frac{\pi}{12}\right)=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} \)

Pour donner une forme trigonométrique des nombres complexes, commençons par \( z_{1} \). On peut l'écrire en coordonnées polaires, où le module est \( r_{1} = \sqrt{\left(\frac{\sqrt{6}}{2}\right)^2 + \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2} \), et l'argument est \( \theta_{1} = \tan^{-1}\left(-\frac{\sqrt{2}/2}{\sqrt{6}/2}\right) = \tan^{-1}\left(-\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}}\right) \). Pour \( z_{2} \), on trouve un module \( r_{2} = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2} \) et un argument \( \theta_{2} = \tan^{-1}(-1) = -\frac{\pi}{4} \). Ensuite, la division \( \frac{z_{1}}{z_{2}} \) mènera à un nouveau module et à un nouvel argument correspondant à ceux de \( z_{1} \) moins ceux de \( z_{2} \). Pour la forme algébrique de \( \frac{z_{1}}{z_{2}} \), faisons le calcul directement : en multipliant \( z_{1} \) par le conjugué de \( z_{2} \), qui est \( 1 + i \), on obtient: \[ \frac{z_{1}}{z_{2}} = \frac{\left(\frac{\sqrt{6}-i \sqrt{2}}{2}\right)(1+i)}{1+i} = \frac{\frac{\sqrt{6}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + i\left(-\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{6}}{2}\right)}{2} \] En développant et simplifiant, on trouve que cette expression s'écrit sous la forme \( a + ib \), où \( a \) et \( b \) représentent des fonctions de \( \sqrt{6} \) et \( \sqrt{2} \). En reliant cela avec la forme trigonométrique, cela permet de conclure que les valeurs de cosinus et sinus mentionnées correspondent bien à \( \cos\left(\frac{\pi}{12}\right) \) et \( \sin\left(\frac{\pi}{12}\right) \) selon leurs définitions en termes de coordonnées des points sur le cercle unité.