Calcula los siguientes determinantes utilizando el desarrollo por los elementos de la línea más conveniênte: $$ \begin{array}{ll} ext { a) }\left|\begin{array}{ccc}2 & 3 & -1 \ 5 & 0 & -7 \ 0 & 14 & 0\end{array} ight| & ext { b) }\left|\begin{array}{ccc}-1 & a & -a \ 0 & 2 & -3 \ 1 & a & 2\end{array} ight| \ ext { c) }\left|\begin{array}{cccc}2 & 3 & -1 & 0 \ 6 & 4 & -3 & 5 \ 2 & -1 & 2 a & -3 \ 0 & 2 a & 0 & a^{2}\end{array} ight| & ext { d) }\left|\begin{array}{cccc}-11 & 2 & 1 & -2 \ 0 & 1 & -1 & 8 \ 1 & 0 & 1 & -1 \ 0 & 3 & 1 & 4\end{array} ight|\end{array} $$

Question

Calcula los siguientes determinantes utilizando el desarrollo por los elementos de la línea más conveniênte: $$ \begin{array}{ll}	ext { a) }\left|\begin{array}{ccc}2 & 3 & -1 \ 5 & 0 & -7 \ 0 & 14 & 0\end{array}ight| & 	ext { b) }\left|\begin{array}{ccc}-1 & a & -a \ 0 & 2 & -3 \ 1 & a & 2\end{array}ight| \ 	ext { c) }\left|\begin{array}{cccc}2 & 3 & -1 & 0 \ 6 & 4 & -3 & 5 \ 2 & -1 & 2 a & -3 \ 0 & 2 a & 0 & a^{2}\end{array}ight| & 	ext { d) }\left|\begin{array}{cccc}-11 & 2 & 1 & -2 \ 0 & 1 & -1 & 8 \ 1 & 0 & 1 & -1 \ 0 & 3 & 1 & 4\end{array}ight|\end{array} $$

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Para calcular los determinantes de las matrices dadas, utilizaremos el desarrollo por cofactores, eligiendo la fila o columna que facilite los cálculos.

### a) 
$$
\left|\begin{array}{ccc}
2 & 3 & -1 \
5 & 0 & -7 \
0 & 14 & 0
\end{array}\right|
$$

Elegimos la tercera fila, ya que tiene un elemento cero que simplifica el cálculo:

$$
= 0 \cdot \text{det} + 14 \cdot \text{det}\left(\begin{array}{cc}
2 & -1 \
5 & -7
\end{array}\right) + 0 \cdot \text{det}
$$

Calculamos el determinante de la matriz $$2 \times 2$$:

$$
\text{det}\left(\begin{array}{cc}
2 & -1 \
5 & -7
\end{array}\right) = (2)(-7) - (-1)(5) = -14 + 5 = -9
$$

Por lo tanto, el determinante original es:

$$
= 14 \cdot (-9) = -126
$$

### b) 
$$
\left|\begin{array}{ccc}
-1 & a & -a \
0 & 2 & -3 \
1 & a & 2
\end{array}\right|
$$

Elegimos la primera columna:

$$
= -1 \cdot \text{det}\left(\begin{array}{cc}
2 & -3 \
a & 2
\end{array}\right) + 0 + 1 \cdot \text{det}\left(\begin{array}{cc}
a & -a \
2 & -3
\end{array}\right)
$$

Calculamos los determinantes de las matrices $$2 \times 2$$:

1. 
$$
\text{det}\left(\begin{array}{cc}
2 & -3 \
a & 2
\end{array}\right) = (2)(2) - (-3)(a) = 4 + 3a
$$

2. 
$$
\text{det}\left(\begin{array}{cc}
a & -a \
2 & -3
\end{array}\right) = (a)(-3) - (-a)(2) = -3a + 2a = -a
$$

Por lo tanto, el determinante original es:

$$
= -1(4 + 3a) - a = -4 - 3a - a = -4 - 4a
$$

### c) 
$$
\left|\begin{array}{cccc}
2 & 3 & -1 & 0 \
6 & 4 & -3 & 5 \
2 & -1 & 2a & -3 \
0 & 2a & 0 & a^{2}
\end{array}\right|
$$

Elegimos la primera columna:

$$
= 2 \cdot \text{det}\left(\begin{array}{ccc}
4 & -3 & 5 \
-1 & 2a & -3 \
2a & 0 & a^{2}
\end{array}\right) + 0 + 0 + 0
$$

Ahora calculamos el determinante de la matriz $$3 \times 3$$:

$$
= 2 \cdot \left(4 \cdot \text{det}\left(\begin{array}{cc}
2a & -3 \
0 & a^{2}
\end{array}\right) - (-3) \cdot \text{det}\left(\begin{array}{cc}
-1 & -3 \
2a & a^{2}
\end{array}\right) + 5 \cdot \text{det}\left(\begin{array}{cc}
-1 & 2a \
2a & 0
\end{array}\right)\right)
$$

Calculamos los determinantes de las matrices $$2 \times 2$$:

1. 
$$
\text{det}\left(\begin{array}{cc}
2a & -3 \
0 & a^{2}
\end{array}\right) = (2a)(a^{2}) - (-3)(0) = 2a^3
$$

2. 
$$
\text{det}\left(\begin{array}{cc}
-1 & -3 \
2a & a^{2}
\end{array}\right) = (-1)(a^{2}) - (-3)(2a) = -a^{2} + 6a
$$

3. 
$$
\text{det}\left(\begin{array}{cc}
-1 & 2a \
2a & 0
\end{array}\right) = (-1)(0) - (2a)(2a) = -4a^2
$$

Sustituyendo en la expresión:

$$
= 2 \cdot \left(4(2a^3) + 3(-a^2 + 6a) + 5(-4a^2)\right)
$$
$$
= 2 \cdot \left(8a^3 - 3a^2 + 18a - 20a^2\right)
$$
$$
= 2 \cdot \left(8a^3 - 23a^2 + 18a\right) = 16a^3 - 46a^2 + 36a
$$

### d) 
$$
\left|\begin{array}{cccc}
-11 & 2 & 1 & -2 \
0 & 1 & -1 & 8 \
1 & 0 & 1 & -1 \
0 & 3 & 1 & 4
\end{array}\right|
$$

Elegimos la primera columna:

$$
= -11 \cdot \text{det}\left(\begin{array}{ccc}
1 & -1 & 8 \
0 & 1 & -1 \
3 & 1 & 4
\end{array}\right) + 0 + 1 \cdot \text{det}\left(\begin{array}{ccc}
2 & 1 & -2 \
1 & -1 & 8 \
0 & 1 & 4
\end{array}\right) + 0
$$

Calculamos el primer determinante:

$$
= -11 \cdot \left(1 \cdot \text{det}\left(\begin{array}{cc}
1 & 8 \
1 & 4
\end{array}\right) - (-1) \cdot \text{det}\left(\begin{array}{cc}
0 & 8 \
3 & 4
\end{array}\right)\right)
$$

Calculamos los determinantes de las matrices $$2 \times 2$$:

1. 
$$
\text{det}\left(\begin{array}{cc}
1 & 8 \
1 & 4
\end{array}\right) = (1)(4) - (8)(1) = 4 - 8 = -4
$$

2. 
$$
\text{det}\left(\begin{array}{cc}
0 & 8 \
3 & 4
\end{array}\right) = (0)(4) - (8)(3) = 0 - 24 = -24
$$

Sustituyendo:

$$
= -11 \cdot (-4 + 24) = -11 \cdot 20 = -220
$$

Finalmente, el determinante original es:

$$
\text{det} = -220 + \text{det}\left(\begin{array}{ccc}
2 & 1 & -2 \
1 & -1 & 8 \
0 & 1 & 4
\end{array}\right)
$$

Calculamos el segundo determinante:

$$
= 2 \cdot \text{det}\left(\begin{array}{cc}
-1 & 8 \
1 & 4
\end{array}\right) - 1 \cdot \text{det}\left(\begin{array}{cc}
1 & -2 \
0 & 4
\end{array}\right)
$$

1. 
$$
\text{det}\left(\begin{array}{cc}
-1 & 8 \
1 & 4
\end{array}\right) = (-1)(4) - (8)(1) = -4 - 8 = -12
$$

2. 
$$
\text{det}\left(\begin{array}{cc}
1 & -2 \
0 & 4
\end{array}\right) = (1)(4) - (-2)(0) = 4
$$

Sustituyendo:

$$
= 2(-12) - 4 = -24 - 4 = -28
$$

Por lo tanto, el determinante total es:

$$
-220 - 28 = -248
$$

### Resumen de los determinantes:
- a) $$-126$$
- b) $$-4 - 4a$$
- c) $$16a^3 - 46a^2 + 36a$$
- d)
- a) $$-126$$ - b) $$-4 - 4a$$ - c) $$16a^3 - 46a^2 + 36a$$ - d) $$-248$$

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